Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

126 Anhang A. Gaußintegration und Hermitepolynome
ihr Grenzwert eine ganze, analytische Funktion. Damit sieht man, daß Gl.
(1) für alle Funktionen in H (1)
b
zutrifft.
Sei nun P ∈ H b eine Polynomfunktion, dann kann man sie schreiben als
P(x 1 , . . . , x N ) = ∑
P κ H κ (γ) (x 1 , . . . , x N ) ,
κ∈N N 0
wobei nur endlich viele P κ ≠ 0 sind. Für vorgegebene (y 1 , . . . , y N−1 ) ∈ C N−1
ist H κ (γ) (y 1 , . . . , y i−1 , ·, y i+1 , y N−1 ) ∈ H (1)
b
. Definiert man also E b durch
E b (x 1 , . . . , x N ) :=
N∏
E b (x i ) ,
i=1
so erhält man induktiv für µ ∈ N N 0 und x ∈ C N
〈H (γ)
µ , E b (x, ·)〉 b,γ = H (γ)
µ (¯x) (2)
und daraus unter Ausnutzung der Linearität des Skalarproduktes
〈P, E b (x, ·)〉 b,γ = P(¯x) . (3)
Sei nun (f n ) n∈N eine Cauchyfolge von Polynomfunktionen in H b . Für vorgegebene
(y 1 , . . . , y N−1 ) ∈ C N−1 ist dann der Grenzwert der Cauchyfolge
(f n) ′ n∈N := (f n (y 1 , . . . , y i−1 , ·, y i+1 , y N−1 )) n∈N in H (1)
b
eine ganze, analytische
Funktion. Also ist der Grenzwert f von (f n ) n∈N in H b analytisch in jeder
der Variablen, und mit dem Satz von Hartogs folgt, daß f eine holomorphe,
ganze Funktion in N Variablen ist. Zusätzlich gilt für alle g ∈ H b
〈g, E b (z, ·)〉 b,γ = g(¯z) .
Die Ungleichung in der Behauptung erhält man wieder aus der Cauchy-
Schwarz-Ungleichung.
⊳