Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

38 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Zunächst stellt man dazu fest, daß wieder die Entwicklung in eine Binomialreihe
für die zugelassenen a, b und c möglich ist. Dies nutzt man aus und ersetzt
den übrigbleibenden Term durch seine (endliche) Binomialsumme. Nach
einigen Summationsvertauschungen und Summationsindexverschiebungen erhält
man das gesuchte Ergebnis.
(1 − 4γ 2 (ab + bc + ca) − 16γ 3 abc) −N/2
∞∑
∏ q−1 (
i=0
(N + 2i)
=
− 1 ) q
(−4γ 2 ) q (ab + bc + ca + 4γabc) q
q! 2
q=0
∞∑
∏ q−1
i=0
(N + 2i)
=
(2γ 2 ) q ·
q!
q=0
q∑ q!
k 1 !k 2 !k 3 !k 4 ! (ab)k 1
(bc) k 2
(ca) k 3
(abc) k 4
(4γ) k 4
=
=
=
=
k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 =0
k 1 +k 2 +k 3 +k 4 =q
q−1 ∞∑ ∏
(N + 2i)(2γ 2 ) q ·
q=0 i=0
q∑
k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 =0
k 1 +k 2 +k 3 +k 4 =q
q−1 ∞∑ ∏
(N + 2i)(2γ 2 ) q ·
q=0 i=0
q∑
k 1 ,k 2 ,k 3 =0
1
k 1 !k 2 !k 3 !k 4 ! ak 1+k 3 +k 4
b k 1+k 2 +k 4
c k 2+k 3 +k 4
(4γ) k 4
Θ(q − k 1 − k 2 − k 3 )
k 1 !k 2 !k 3 !(q − k 1 − k 2 − k 3 )! aq−k 2
b q−k 3
c q−k 1
(4γ) q−k 1−k 2 −k 3
q−1 ∞∑ ∏
(N + 2i)(2γ 2 ) q ·
q=0 i=0
q∑
n,m,k=0
∞∑
n,m,k=0
Θ(n + m + k − 2q)
(q − n)!(q − m)!(q − k)!(n + m + k − 2q)! an b m c k (4γ) n+m+k−2q
a n b m c k
n!m!k!
∑
n,m,k≤q
2q≤n+m+k
n!m!k! ∏ q−1
i=0
(N + 2i)2−3q
(q − n)!(q − m)!(q − k)!(n + m + k − 2q)! (4γ)n+m+k