Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

46 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
algebraischen Gleichung gefunden, so sieht man Z : R → R mit
Z(x) =
∞∑
z n γ −n x 2n
n=0
als die zugehörige Funktion an. (Und das Potential ist entsprechend der
Logarithmus dieser Funktion: V = − log Z.) Dies ist analog auch bei der
Entwicklung nach den Hermitepolynomen möglich, indem man Gleichung
(13) auf Seite 38 benutzt. Man beachte aber, daß diese Funktionen von N
abhängen.
2.7 Ausintegration der O(N)-Komponenten
Es ist möglich, die O(N)-Komponenten auszuintegrieren. Man erhält dann
eine RG-Transformation, die eine Besselfunktion enthält und die man wieder
auf Funktionen in einer Variablen beschränken kann. Sei dazu N ≥ 2. Dann
substituiert man im RG-Integral zuerst die Integrationsvariable x ′ durch x+
βy und führt anschließend Kugelkoordinaten im R N so ein, daß e 1 ||y gilt,
wobei man noch die O(N)-Invarianz von Z ausnutzt.
(RZ)(y) =
∫
d N x
√ N
2πσ e−(x−βy)2 2σ Z Ld (x)
=
=
=
1
√ β2 y 2
N e− 2σ
2πσ
N−2
∏
j=1
∫ ∞ ∫ π ∫ π ∫ 2π
drr N−1 dϕ 1 . . . dϕ N−2 dϕ N−1
0
0 0 0
(
sin N−j−1 (ϕ j ) exp(− r2 β
)
2σ ) exp σ r‖y‖ cos(ϕ 1) Z Ld (r, 0, . . . , 0)
[ ∫ π ∫ π ∫ ]
2π N−2
∏
dϕ 2 . . . dϕ N−2 dϕ N−1 sin N−j−1 (ϕ j )
0 0
1
√ β2 y 2
N e− 2σ
2πσ
∫ ∞
0
0
dre − r2
2σ r N−1 Z Ld (r, 0, . . . , 0)
1
√ β2 y 2 vol N−1 S
N e− 2σ ∫ N−1
π
2πσ dϕ 0 sinN−2 (ϕ)
∫ ∞
0
∫ π
0
j=2
dϕ 1 sin N−2 (ϕ 1 )e β σ r‖y‖ cos(ϕ 1)
dre − r2
2σ r N−1 Z Ld (r, 0, . . . , 0)I N−2( 1 √ πΓ(
N−2
2 σ rβ‖y‖) + 1)
2 2
N−2
r|y|) 2
( β 2σ