Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

4.1. Eine genäherte asymptotische Fixpunktgleichung 85
kann aber keine asymptotische RG-Transformation herleiten. Daher soll eine
Näherung besprochen werden, mit der man eine genäherte asymptotische
RG-Transformation bekommt. Diese ist explizit lösbar und liefert eine
Lösung, die für kleine Argumente eine gute Näherung des numerisch bestimmten
Fixpunktes für N = 20 ist.
4.1 Eine genäherte asymptotische Fixpunktgleichung
Mit einer einfachen Näherung kann man die Gleichungen explizit lösbar machen.
Dazu nimmt man an, daß die erste und zweite Ableitung des Potentials
klein sind und vernachlässigt werden können. Anhand der Abbildungen 4.1
und 3.4 für die Fixpunkte und Potentiale sieht man, daß dies für kleine Argumente
bis zum Maximum gut erfüllt ist.
Dann hat die Funktion f in ihrem Definitionsbereich nur einen kritischen
Punkt und die Hessematrix an diesem Punkt ist nicht entartet. Wegen
∂f
∂s (s, q) ≈ s σ und
∂f
∂q (s, q) ≈ q σ − 1 q
liegt er bei (s 0 , q 0 ) = (0, √ σ). Sei nun noch A die Hessematrix von f an der
Stelle (s 0 , q 0 ) multipliziert mit 1 2 ,
dann gilt
A = 1 2
( 1
σ
0
0
2
σ
)
,
I ∼ exp(−Nf(s 0, q 0 ))πg(s 0 , q 0 )
√
N2 det(A)
= exp(−N 2 )σ N 2 πσ −1
N(σ √ 2) −1 ζ 2N (β 2 x 2 + σ)
Das asymptotische Verhalten des Vorfaktors von I in der RG-Transformation
erhält man durch die Stirling-Formel.
√
2π N−1 N
2 N
√ N
2πσ Γ(
N−1
) = 2 √ N N
√ √ N
2 π 2σ Γ(
N−1
) 2
∼
2√ N N
√ π
√
2σ
N
(
1 2e
√
π(N − 3) N − 3
) N−3
2