Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

40 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Wieder liefern die Funktionen G N diese Information, indem man das gleiche
Verfahren wie oben anwendet. Zuerst bildet man das Skalarprodukt mit h (γ)
n
und nutzt die Orthogonalität der Polynome aus
n−1
∏
〈h (γ′ )
k
, h (γ)
n 〉 γ = n! (N + 2i)(2γ 2 ) n c (k)
n . (12)
i=0
Zur Berechnung des Skalarproduktes auf der linken Seite berechnet man
wieder das Skalarprodukt zweier Funktionen G N , die sich diesmal durch die
Kovarianz γ bzw. γ ′ unterscheiden, und formt es in einen Reihenausdruck
um.
〈G (γ′ )
N
(a, ·), G(γ)
N (b, ·)〉 γ =
∞∑
a k b n
)
k!n! 〈h(γ′ k
k,n=0
, h (γ)
n 〉 γ
Nach Korollar 1 ist das Produkt der Funktionen auf der linken Seite
) −N/2 (
G (γ′ )
N
(a, x)G(γ)
N
((1+2γ (b, x) = ′ a
a)(1+2γb) exp (
1 + 2γ ′ a + b )
1 + 2γb )x2 .
Integration nach Lemma 1 in Anhang A liefert dann
〈G (γ′ )
N
=
=
(a, ·), G(γ)
N (b, ·)〉 γ
(
(1 + 2γ ′ a)(1 + 2γb)
(
1 − 2a(γ − γ ′ ) − 4γ 2 ab) −N/2
.
(
a
1 − 2γ(
1 + 2γ ′ a + b
) ) −N/2
1 + 2γb )
Dies entwickelt man in eine Binomialreihe, wie auch den dabei übrigbleibenden
Term, und erhält
〈G (γ′ )
N
=
=
(a, ·), G(γ)
N (b, ·)〉 γ
∞∑
∏ k−1
i=0
(N + 2i)
k!
k=0
∞∑
k∑
k=0 n=0
a k b n k−1
∏
k!n!
i=0
(
− 1 ) k
(−2a) k ((γ − γ ′ ) + 2γ 2 b) k
2
( k
(N + 2i)n! (2γ
n)
2 ) n (γ − γ ′ ) k−n .
Für das gesuchte Skalarprodukt gilt also
〈h (γ′ )
k
, h (γ)
n 〉 γ =
{ ∏ k−1
i=0 (N + 2i)n!( k
n)
(2γ 2 ) n (γ − γ ′ ) k−n : n ≤ k
0 : n > k .