Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.8. Eigenwerte der Linearisierung und Bifurkationen 49
Beweis: Die Polynome h (γ)
n bilden eine Basis von L 2 (R N , µ γ ) O(N) . Jedes solche
Polynom besteht aus einer Summe von Polynomen H µ (γ) mit |µ| = 2n.
⊳
Die Eigenwerte am UV-Fixpunkt sind alle positiv. Man teilt sie in drei Klassen
ein. Ist ein Eigenwerte größer als 1, so nennt man ihn ”
relevant“. Ist er
kleiner als 1, so nennt man ihn ”
irrelevant“, und ist er gleich 1, so nennt
man ihn ”
marginal“. In der Nähe des Fixpunktes kann man den Operator
linear nähern. Dies ist die Aussage von F4 über die Differenzierbarkeit des
Operators. Diesen Bezeichnungen der Eigenwerte liegt dann die Vorstellung
zugrunde, daß bei einer Iteration der RG-Transformation in der Nähe des
Fixpunktes die relevanten Eigenwerte zu auslaufenden Richtungen gehören
und die irrelevanten Eigenwerte zu einlaufenden Richtungen.
Daher ist nun für 2 < d ≤ 4 die Größe der Eigenwerte zu überprüfen. Für
d = 4 ist λ n = 2 √
2
n. Der Beginn der Folge der Eigenwerte ist
λ 0 = 2, λ 1 = √ 2, λ 2 = 1, λ 3 = 1 √
2
.
Bei d = 4 gibt es damit zwei relevante und einen marginalen Eigenwert. Wird
d kleiner, so wachsen die Eigenwerte. Bei den Dimensionen d k = 2k , k ∈ k−1
N ≥2 , wird ein Eigenwert, der für größere Dimensionen noch irrelevant war,
marginal. Für d < d k ist er relevant. Ist d < d k , so sind die Eigenwerte λ n
zu n ∈ {0, 1, . . . , k} relevant. Die ersten Werte von d k sind:
d 2 = 4, d 3 = 3, d 4 = 8 3 .
Diese Dimensionen sind ausgezeichnet, denn man erwartet eine Änderung
des Verhaltens des Systems, wenn ein weiterer Eigenwert relevant wird.
Es soll auch noch angedeutet werden, wie man dies im Rahmen der Bifurkationstheorie
verstehen kann. Dazu betrachtet man die Integralgleichung
F(d, f) := R (d, f) − f ! = 0 .
Die Dimension d wird als reeller Parameter des Operators R aufgefaßt.
Lösungen dieser Gleichung sind Fixpunkte des Operators R . Wenn S ⊆
]2, 4] × D R die Lösungsmenge dieser Gleichung ist, so ist man besonders an
den Schnitten S(d) := {f ∈ D R : (d, Z) ∈ S} interessiert und insbesondere
an den Parametern d ∗ , bei denen sich die Struktur von S(d) ändert.