Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

4.1. Eine genäherte asymptotische Fixpunktgleichung 87
Wenn man annimmt, daß 1 v(0) = v( 1−(β2 ) n
σ) für beliebiges n ∈ R gilt, hat
2 n 1−β 2
man an der Stelle ñ(x 2 ) = log(x2 (1−β 2 )−1)
für genügend große x ∈ R
log β 2
( x
v(x 2 2)
(
) = exp(− log(2)ñ )v(0) = exp − log 2 (
σ
log β log x 2(1 − β2 )
− 1) ) v(0) .
2 σ
Dies führt dann zu der Behauptung, daß ζ ∗ (x 2 ) = exp(v ∗ (x 2 )) mit
(
v ∗ (x 2 ) = exp − log 2 ∣ ∣∣x
log β log 2 (1 − β2 )
)
− 1∣
v 2 ∗ (0)
σ
die Fixpunktgleichung erfüllt, was man nun leicht nachrechnet. Die Gleichung
hat damit eine ganze Schar von Fixpunkten, parametrisiert durch v ∗ (0). Bei
ihrer Herleitung wurde jedoch die Information über die Ableitung durch die
Näherung verworfen.
Diese Funktion hat die Form eines Double-Well“. Gibt man v ” ∗ (0) durch
den numerisch bestimmten Wert vor, so hat man bis zum Maximum der
Funktion eine zufriedenstellende Übereinstimmung mit dem numerisch bestimmten
√
Potential. Abbildung 4.2 zeigt den skalierten Fixpunkt ˜Z(x) =
20
Z 20 ( √ 20 x) bei d = 3 und N = 20 zusammen ζ ∗ und R ˜Z. Man muß noch
berücksichtigen, das ˜Z vom tatsächlichen asymptotischen Fixpunkt abweicht.
Das Maximum von ζ ∗ liegt bei x m =
√
σ
1−β 2 . In Abbildung 4.1 für die numerisch
bestimmten Potentiale ist dieser Wert eingezeichnet.
Das asymptotische Verhalten von v ∗ für große Argumente ist
v ∗ (x 2 ) ∼ const. (x 2 ) log 2
log β 2 = const. (x 2 ) d
d−2 ,
also hat v ∗ sogar das richtige ”
Großfeldverhalten“. (vgl. Kapitel 1)
4.1.2 Eigenwerte der linearisierten RG-Gleichung
Die zur genäherten RG-Gleichung gehörende linearisierte RG-Gleichung lautet
(A(ζ ∗ )ϕ)(x 2 ) = 2ζ ∗ (β 2 x 2 + σ)ϕ(β 2 x 2 + σ) .
Die ersten beiden Eigenfunktionen und Eigenwerte kann man direkt ablesen.
Sie sind ϕ 0 = ζ ∗ mit Eigenwert λ 0 = 2 und (durch Differentiation der