Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

56 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Die Funktionenfolge auf der linken Seite konvergiert in D R gegen den Hochtemperaturfixpunkt
Z HT .
Beweis: Die Exponentialfunktion ist stetig. Betrachte also gleich den Exponenten
in F18.
c(2β 2 ) n Summe
1 − 4σc ∑ n−1
=
k=0 (2β2 ) k
umsortieren
−→
n→∞
c
∑
1
− 4σc n−1
(2β 2 ) n 2β 2 k=0 ( 1 )
2β k 2
−
c
4σc 1
2β 2 1− 1
= − 2β2 − 1
4σ
2β 2
Die geometrische Reihe konvergiert, da 2β 2 = 2 2/d > 1. Als Funktionenfolge
konvergiert die linke Seite im Korollar sogar gleichmäßig gegen die rechte
Seite.
⊳
Mit anderen Worten: Die durch ϕ c definierten Theorien liegen für c < 0 alle in
der gleichen Äquivalenzklasse. Sie gehören zu nicht kritischen Theorien. Der
Fall c = 0 entspricht einer kritischen Theorie und sie liegt in einer anderen
Äquivalenzklasse.
Bemerkung: F18 stimmt für positive c nicht. Es gibt dann ein M ∈ N 0 , so
daß R M ϕ c /∈ L 2 (R N , dµ γ ).
Sei also 0 < c < 1 = 1−β2 . Sieht man von der Normierung ab, so ist
4γ 4σ
wieder nach Lemma A.1 Rϕ c = const · ϕ c ′ mit c ′ = 2β2 c
. Daran sieht
1−4σc
man, daß man sogar schon mit einmaliger Anwendung von R den Raum der
quadratintegrablen Funktionen verlassen kann, wenn man nur R auf ϕ c mit
c in der Nähe von 1 anwendet, denn es gilt
4γ
c ′ (c) c→ 1
4γ
−→ 1
2γ > 1
4γ .
Aber auch für beliebig kleine c > 0 verläßt ϕ c den Raum der quadratintegrablen
Funktionen mit endlich vielen Anwendungen von R . Dies sieht man
so: Es ist c ′ > c. Für alle n ∈ N 0 , für die Rϕ c noch in L 2 (R N , dµ γ ) liegt, ist
c(2β
also
2 ) n
1−4σc ∑ n−1 > 0. Wenn man annimmt, daß dies für alle n ∈ N
k=0 (2β2 ) k 0 gilt,
so hat man mit
c(2β 2 ) n
1 − 4σc ∑ n−1
< 1
k=0 (2β2 ) k 4γ
⇐⇒
4γc((2β 2 ) n + σ ∑n−1
(2β 2 ) k ) < 1
γ
k=0