Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

KAPITEL 6
Die Betafunktion
In diesem Kapitel wird die Betafunktionsmethode besprochen. Im Zusammenhang
mit hierarchischen Modellen ist das die Bezeichnung für eine Methode,
das unendlichdimensionale Fixpunktproblem in ein endlichdimensionales
Problem zu überführen. Damit ist diese Methode besonders dafür geeignet,
die Existenz von Fixpunkten zu zeigen.
Man rechnet im HT-Bild. Da für diesen Fall exponentiell anwachsende Funktionen
im Definitionsbereich des Operators liegen, werden durch diese Wahl
einige Normabschätzungen möglich.
Die Ableitung A(f) des Operators R an der Stelle f ∈ D R ist eine lineare
und stetige Abbildung. (F 2.3) Nur endlich viele Eigenwerte von A an den trivialen
Fixpunkten sind größer als 1. Diese Eigenschaft erwartet man auch von
den Eigenwerten an nichttrivialen Fixpunkten. Ist die Ableitung ein Hilbert-
Schmidt-Operator, so sind nur endlich viele Eigenwerte relevant, denn die
Summe ∑ ∞
n=0 λ2 n aller quadrierten Eigenwerte ist dann endlich. Mit Hilfe
von Feststellung 17 auf Seite 50 kann man untersuchen, ob die Ableitung ein
Hilbert-Schmidt-Operator ist. (Vgl. die Bemerkung zu dieser Feststellung.)
In diesem Fall gibt es eine Zerlegung des zugrundeliegenden Banachraumes
B = B 1 ⊕ B 2 , invariant unter A, und Normen ‖ · ‖ 1 , ‖ · ‖ 2 , die äquivalent zu