Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.7. Ausintegration der O(N)-Komponenten 47
Dabei ist I κ die zu J κ gehörende modifizierte Besselfunktion. ([AS84]) Eine
Analyse der Berechnung des Kugelvolumens (z.B. bei O.Forster, Analysis
3, §5) ergibt (τ n = vol n (B n ) = Volumen der Einheitskugel in n Dimensionen):
c n =
∫ π
0
sin n ϕdϕ = τ n
= √ π Γ(n−1 + 1)
2
τ n−1 Γ( n + 1) .
2
Setzt man alle Beziehungen ein und vereinfacht, so erhält man
(RZ)(y) =
1
σ · (β‖y‖) N−2
2
exp(− β2 y 2 ∫ ∞
2σ )
Hier fügt sich der Fall N = 1 wieder ein.
(RZ)(y) =
=
1
√ e − β2 y 2
2σ
2πσ
1
√ e − β2 y 2
2σ
2πσ
= 1 β2 y 2
σ e− 2σ
( ∫ ∞
0
∫ ∞
0
√
∫∞
β|y|
0
√
2 cosh √ x
π x
0
dre − r2
2σ r
N
∫ 0
dxe − x2 β
2σ e σ xy Z Ld (|x|) +
2 Z
L d (r, 0, . . . , 0)I N−2( 1 σ rβ‖y‖) .
−∞
dxe − x2
2σ 2 cosh(
β
σ xy)ZLd (|x|)
dxe − x2
2σ I−1/2 ( β σ x|y|))√ xZ Ld (|x|)
)
dxe − x2 β
2σ e σ xy Z Ld (|x|)
Dabei wurde I −1/2 (x) = benutzt. Da cosh eine gerade Funktion ist,
kann man vor der Ersetzung die Betragsstriche einfügen.
Durch diese Gleichungen kann man durch Gauß-Hermite-Integration eine
algebraische RG-Transformation mit beliebigem L > 1 definieren, um numerisch
die L-Abhängigkeit der verschiedenen Größen zu bestimmen. Ferner
kann man das bekannte asymptotische Verhalten der Besselfunktionen ausnutzen.
Oder man setzt mit Hilfe dieser Formeln auch die Integralgleichung
zu beliebigen N fort. Für κ ∈ Z ist I κ = I −κ . Daher kann man insbesondere
die Fälle N = 0 und N = −2 explizit über diese Gleichungen definieren.
Mit Hilfe der Integralformeln für Besselfunktionen [AS84][9.6.3 und 11.4.29]
kann man sich explizit davon überzeugen, daß der UV- und der HT-Fixpunkt
Fixpunkte dieser Transformation sind.
Vielleicht ist noch eine Anmerkung zur Klassifizierung der Gleichung hilfreich.
In Büchern zur nichtlinearen Funktionalanalysis wird diese Form von
2