Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

20 Kapitel 1. Das Modell
F1 Für 0 < b < 1 kann man die Elemente von H b mit analytischen Funktionen
in N Variablen identifizieren, und für alle f ∈ H b und z ∈ C N gilt
die Ungleichung
(
)
1
|f(z)| ≤ ‖f‖ b,γ
4√ exp 1
−
1 − b
2 N 2γ(1 − b 2 ) (b2 Re(z 2 ) − b|z| 2 ) .
Wenn man sich also auf den reellen Teilvektorraum Hb r von H b beschränkt,
der aus den Funktionen besteht, die bei Einschränkung auf R N nur reelle
Werte annehmen, so gilt für jede solche Funktion f für alle x ∈ R N
( )
1
|f(x)| ≤ ‖f‖ b,γ
4√ exp b
1 − b
2 N 2γ(1 + b) x2 . (4)
Daher ist aufgrund von 0 < b < 1 ⇒
Element von H 1 .
b
1+b < 1 2 jedes Element von Hr b
auch ein
Für die endgültige Festlegung der Definitionsbereiche ist es wichtig, etwas
über das asymptotische Verhalten der nichttrivialen Fixpunkte zu wissen.
Koch und Wittwer haben auch das asymptotische Verhalten für große
Argumente des von ihnen bestimmten nichttrivialen Fixpunktes des skalaren
Modells bei d = 3 untersucht. Es gilt, daß die Grenzwerte
l + = lim x −6 5 log ZIR (x) ,
l − = lim x −6 5 log ZIR (x)
existieren und die Ungleichung 0 < l + ≤ 2l − erfüllen. Heuristisch kann man
sich dies durch RZ(x) ∼ Z ” Ld (βx)“ klar machen. Setzt man dann noch
Z(x) = exp(c(x 2 ) α ) mit einer positiven Konstanten c an, so erhält man
α = d . Dadurch kommt man zu der Vermutung, daß das asymptotische
d+2
Verhalten für große Argumente eines nichttrivialen Fixpunktes im HT-Bild
Z ∗ (x) ∼ exp(c(x 2 ) d
d+2 ) ist. Eine exakte Abschätzung dazu findet man in
[PW94]. Für das UV-Bild findet man entsprechend Z ∗ (x) ∼ exp(−c ′ (x 2 ) d
d−2 ).
(c ′ > 0)
1.3.1 Der Definitionsbereich im UV-Bild
Eine mögliche Wahl für den Definitionsbereich ist L ∞ (R N , µ γ ) ⊆ L 2 (R N , µ γ ).
Dieser Raum hat den Vorteil, daß er den UV-Fixpunkt enthält und ein Banachraum
ist. Auch die nichttrivialen Fixpunkte sind in diesem Raum enthalten,
wie man an ihrem asymptotischen Verhalten sieht. Der Nachweis,