Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

124 Anhang A. Gaußintegration und Hermitepolynome
Die folgenden Definitionen und Feststellungen sind direkte Verallgemeinerungen
derjenigen von Koch und Wittwer. [KW91]
F4 Für 0 < b ≤ 1 und µ, ν ∈ N N 0 ist
( γ
) |µ|
〈H µ (γ) , H ν (γ) 〉 b,γ = µ!δµ,ν .
b
Beweis: Seien a, c ∈ R N und (·, ·) das kanonische Skalarprodukt auf R N .
Dann gilt, indem man die Gaußschen Integrale (bzw. das Gaußsche Integral
im Fall b = 1) bei (∗) mit Hilfe quadratischer Ergänzung ausrechnet:
∞∑
µ 1 ,...,µ N =0
ν 1 ,...,ν N =0
a µ c ν
µ!ν! 〈H(γ) µ , H ν (γ) 〉 b,γ
= 〈e (a,·)− a2 γ
2 , e
(c,·)− c2 γ
2 〉b,γ
(∗)
= e γ b (a,c)
= ∑ µ,ν
a µ c ν ( γ
) |µ|
µ!δµ,ν . ⊳
µ!ν! b
Definition 1 Für 0 < b < 1 und γ > 0 sei die Funktion E (γ)
b
definiert durch
: C × C → C
E (γ)
b
(x, y) :=
∞∑
( ) n b 1
γ n! H(γ) n (x)H n (γ) (y) .
n=0
F5 Für die Funktion E b = E (γ)
b
gilt:
)
1
E b (x, y) = √ exp 1
(− 1 − b
2 2γ(1 − b 2 ) (b2 x 2 − 2bxy + b 2 y 2 )
.
Beweis: Man zeigt, daß die rechte Seite in L 2 (R N , µ γ ) die gleiche Entwicklung
nach den Hermitepolynomen hat wie die linke. Aus Symmetriegründen
genügt zu zeigen
〈H m (γ) , E b (x, ·)〉 γ = b m H m (γ) (x) .
〈H (γ)
m , E b (x, ·)〉 γ
∫
(
dy y2
1
(
) )
= √ exp(−
2πγ(1 − b2 ) 2γ )H(γ) m (y) exp − b 2 y 2 + b 2 x 2 − 2bxy
2γ(1 − b 2 )