Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

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=
=
∫
∫
⎛ ( ) 2
⎞
dy
⎜
y − bx
⎟
√
2πγ(1 − b2 ) H(γ) m (y) exp⎝−
2γ(1 − b 2 ⎠
)
dµ γ(1−b 2 )(y)H m (γ) (y + bx) = H (b2 γ)
m (by) = b m H m (γ) (y)
⊳
F6 Für 0 < b < 1 kann man die Elemente von H (N)
b
= H b mit analytischen
Funktionen in N Variablen identifizieren, und für alle f ∈ H b und z ∈ C N
gilt die Ungleichung
)
1
|f(z)| ≤ ‖f‖ b,γ 4√ exp 1
(−
1 − b
2N 2γ(1 − b 2 ) (b2 Re(z 2 ) − b|z| 2 ) .
Beweis: Mit der Definition der Funktion E b und F4 sieht man, daß E b (x, ·) ∈
für beliebiges x ∈ C. Daher kann man ‖E b (x, ·)‖ 2 b bilden, und es gilt
H (1)
b
‖E b (x, ·)‖ 2 b =
=
=
∞∑
n,k=0
( b
γ
) k+n 1
n!k! H(γ)
n (x)H (γ)
k
(x)〈H(γ) n , H (γ)
k
〉 b,γ
∞∑ ( b
) n 1
γ n! H(γ) n (x)H n (γ) (x) = E b (x, ¯x)
n
)
1
√ exp 1
(− 1 − b
2 2γ(1 − b 2 ) (2b2 Re(x 2 ) − 2b|x| 2 ) .
Für die Skalarprodukte mit den Hermitepolynomen gilt weiterhin
∞∑ (
〈H m (γ) , E (γ)
b
) n 1
b
(x, ·)〉 b,γ =
γ n! H(γ) n (¯x)〈H m (γ) , H n (γ) 〉 b,γ = H m (γ) (¯x) . (1)
n=0
Unter Ausnutzung der Linearität kann man diese Gleichung auf beliebige
Polynome verallgemeinern. Sei nun (f n ) n∈N eine Cauchyfolge von Polynomen
in H (1)
b
. Aus Gleichung (1) folgt dann mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
für n, m ∈ N
|f n (x) − f m (x)| = |〈f n − f m , E b (x, ·)〉 b,γ | ≤ ‖f n − f m ‖ b,γ ‖E b (x, ·)‖ b,γ .
Da die Norm von E b (z, ·) eine stetige Funktion ist, nimmt sie auf jeder kompakten
Teilmenge von C ihr Maximum an. Die Cauchyfolge (f n ) n∈N konvergiert
also gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von C, und daher ist