Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

6.4. Die Betafunktion 117
Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Arbeit wurden Methoden, die bei der Untersuchung skalarer hierarchischer
Modelle erfolgreich eingesetzt wurden, für die Untersuchung hierarchischer
O(N)-Modelle verallgemeinert und auf diese Modelle angewandt.
Dabei ging es vor allem um den Artikel [PPW94] von Pinn, Pordt und
Wieczerkowski über algebraische RG-Transformationen und die ǫ-Entwicklung.
Die RG-Transformation wurde als Operator auf einem Banachraum definiert,
der ein Teilraum eines Hilbertraumes ist. Die Eigenschaften des Operators
wurden untersucht, und es wurde festgestellt, daß er stetig und differenzierbar
ist. Zwei zu diesem Operator gehörende algebraische RG-Transformation
wurden abgeleitet. Es wurde gezeigt, daß man auch im N-Komponentenfall
numerisch Fixpunkte der algebraischen RG-Transformation finden kann und
diese Ergebnisse für Dimensionen nahe bei 4 mit der ǫ-Entwicklung konsistent
sind. Es wurden die Spezialfälle N = −2 und N → ∞ untersucht.
Dabei wurde festgestellt, daß es starke Anzeichen dafür gibt, daß der kritische
Exponent ν dann mit den entsprechenden Werten für das volle Modell
übereinstimmt.
Zusätzlich konnten einige der Teilergebnisse aus dem Artikel [KW91] von
Koch und Wittwer auf den N-Komponentenfall übertragen werden.
Schließlich wurde die Betafunktionsmethode für den N-Komponentenfall besprochen
und erste Ergebnisse hergeleitet, die für den Existenzbeweis nichttrivialer
Fixpunkte notwendig sind.
Diese Ergebnisse können als Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen dienen.
Dabei sind insbesondere die folgenden Punkte interessant.
• Für d < 2 gibt es nach Cassandro und Mitter auch für N ≥ 1
Fixpunkte der RG-Transformation. [CM94] Diese sollte man mit Hilfe
der algebraischen RG-Transformation numerisch finden können.
• Eine große Aufgabe ist es, die Beobachtungen aus dem Kapitel über
die numerischen Berechnungen zu beweisen. Insbesondere muß untersucht
werden, ob die Existenz der nichttrivialen Fixpunkte wirklich
bei den beobachteten Dimensionen endet, ob man diese Dimensionen
analytisch bestimmen kann und ob die gute Übereinstimmung des kritischen
Exponenten ν mit dem des vollen Modells für N = 0 wirklich
nur dadurch begründet ist, daß die Werte des vollen Modells und des
hierarchischen Modells für N = −2 gleich sind. Auch letzteres, also