Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2 Kapitel 0. Einleitung
muß daher Fluktuationen vieler Größenordnungen berücksichtigen.
Ein zweites Phänomen ist, daß sich mikroskopisch ganz verschiedene Systeme
am kritschen Punkt gleichartig verhalten. Diesen Sachverhalt bezeichnet
man mit Universalität“. Sie zeigt sich u.a. darin, daß Systeme innerhalb
”
der selben Universalitätsklasse“ die gleichen kritischen Exponenten“ haben.
Sei t die reduzierte Temperatur T −T C
” ”
T C
. Für Ferromagneten sind die kritischen
Exponenten α, β, γ, δ und η definiert durch das singuläre Verhalten
der folgenden Größen am kritischen Punkt. Dabei bedeutet f(t) ∼ t λ , daß
log f(t)
der Grenzwert lim t→0 existiert und gleich λ ist.
log t
Wärmekapazität C H ∼ |t| −α für H = 0
Magnetisierung m ∼ (−t) β für t < 0
isotherme Suszeptibilität χ T ∼ |t| −γ für H = 0
äußeres Feld |H| ∼ |m| δ für t = 0
Korrelationslänge ξ ∼ |t| −ν für H = 0
Korrelationsfunktion Γ(⃗r) ∼ |⃗r| −(d−2+η) für t = 0, H = 0
Für α und ν unterscheidet man noch den Wert dieser Größen für t > 0 und
t < 0. Ganz analog definiert man sie für andere physikalische Systeme.
Die Universalitätsklassen, also die Mengen von physikalischen Systemen mit
gleichen kritischen Exponenten, sind bestimmt durch die Dimension des Systems,
durch vorhandene Symmetrien und durch die Zahl der lokalen Freiheitsgrade.
Sie hängen aber nicht von den mikroskopischen Eigenschaften des
Materials ab. Außer den kritischen Exponenten gibt es noch andere Größen,
die innerhalb der Universalitätsklassen gleich sind, etwa die Zustandsdiagramme
in den reduzierten Variablen.
Kritsche Theorien treten aber auch in der Quantenfeldtheorie auf. Wenn
man eine Euklidische Feldtheorie in d Dimensionen durch ihre Gitterapproximation
auf dem Gitter αZ d mit der Gitterkonstanten α ∈ R >0 definiert,
so hat man für die berechneten Größen den Ultraviolett-Grenzwert α → 0
geeignet durchzuführen. Um nach der Durchführung eine nichttriviale Theorie
mit einer Korrelationslänge größer als Null zu erhalten, muß sie vor der
Durchführung des UV-Grenzwertes eine Korrelationslänge haben, die in Einheiten
der Gitterkonstante unendlich ist. Man muß also eine kritische Theorie
betrachten.
Ein Problem bei der Behandlung fast kritischer und kritischer Theorien ist
die große Anzahl von Freiheitsgraden innerhalb der Korrelationslänge. Da-