Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

50 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Für die Untersuchung der Struktur der Menge S kann man die Gradtheorie
von Abbildungen und den Satz über implizite Funktionen benutzen. Mit
Hilfe dieses Satzes ist es möglich, für viele Stellen auszuschließen, daß sich
die Struktur der Menge ändert. Ihn findet man in [Dei85, Theorem 15.1] in
der folgenden Form.
Satz 1 Seien X, Y, Z Banachräume, U ⊂ X und V ⊂ Y Umgebungen von
x 0 bzw. y 0 , F : U × V → Z stetig und stetig (Frechet-) differenzierbar bzgl.
y. Sei ferner F(x 0 , y 0 ) = 0 und Fy
−1 (x 0 , y 0 ) ∈ L(Z, Y ) (d.h. ein beschränkter,
linearer Operator). Dann existieren Kugeln B r (x 0 ) ⊂ U, ¯Bδ (y 0 ) ⊂ V
und genau eine Abbildung T : B r (x 0 ) → B δ (y 0 ), so daß T(x 0 ) = y 0 und
F(x, T(x)) = 0 für alle x ∈ B r (x 0 ). Die Abbildung T ist stetig.
In der vorgegebenen Situation ist also X = ]2, 4] ⊂ R die Menge der betrachteten
Dimensionen und Y = Z = D R . Da man die Stetigkeit des Operators
F nachrechnen kann, ist die einzige zu überprüfende Voraussetzung ist, ob
die Ableitung F y von F nach y ein beschränktes Inverses besitzt. Am UV-
Fixpunkt kann man das Inverse der linearisierten RG-Transformation mit
Hilfe der Normalordnung angeben. Also bleibt nur die Beschränktkeit zu
untersuchen.
Aber dieser Satz stellt auch sicher, daß die Lösungen, also insbesondere auch
die nichttrivialen Lösungen, stetig von der Dimension d abhängen, wenn nur
die Voraussetzungen erfüllt sind. Es gilt sogar noch mehr. In [Sat79] findet
man noch den Zusatz, daß die Funktion T k-mal stetig differenzierbar ist,
wenn dies auch für F zutrifft. Wenn F als Operator (reell-) analytisch ist,
stimmt dies ebenfalls für die Funktion und wenn sogar X, Y und Z komplexe
Banachräume sind, so ist T (komplex-) analytisch in x. Dies ist die mathematische
Motivation, auch komplexe Dimensionen d zu betrachten. Diese
Eigenschaften des Operators können hier aber nicht nachgewiesen werden.
Im Hinblick auf diesen Satz erhält man das gleiche Resultat, wie bei der physikalischen
Argumentation. Bei den Dimensionen d k kommt die 1 im Spektrum
von A(Z UV ) vor. Die Ableitung von F nach dem zweiten Argument ist
F y = A(Z UV ) − 1. Daher ist die inverse Abbildung nicht beschränkt, und die
Voraussetzungen des Satzes über implizite Funktionen sind an diesen Stellen
nicht erfüllt. Die Polynome liegen zwar nicht in D R , aber man kann Folgen
von Funktionen (f n ) in D R mit konstanter Norm angeben, so daß die Norm
von F y f n beliebig klein wird. Vom mathematischen Standpunkt wurde damit
allerdings erst die notwendige Bedingung dafür überprüft, daß (d k , Z UV ) ein