Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

18 Kapitel 1. Das Modell
definiert. Nun gilt für a < b
∫ b
a
∫ b
f 2 1
( (x + βy) 2
(x + βy)dµ σ (x) =
a (x + βy) 2 + ǫ exp − x 2
2 2σ
( β 2 y 2 ) ∫ b
1
( 2βxy
= exp
2σ (x + βy) 2 + ǫ exp 2 2σ
a
) dx
√
2πσ
) dx
√
2πσ
.
Also existieren beide Grenzwerte a → −∞ und b → ∞ genau für y = 0.
(Sonst existiert jeweils nur ein Grenzwert.) Der Fall y = 0 bedeutet aber
f ∈ L 2 (R, µ σ ). Für N > 1 kann man ganz entsprechende Gegenbeispiele
angeben.
Man muß sich also auf jeden Fall auf geeignete Teilmengen beschränken oder
einen anderen Raum wählen. Dabei sollte man gleich die Forderung berücksichtigen,
daß der Wertebereich im Definitionsbereich liegen soll, damit man
R iterieren kann. Nun gibt es in L 2 (R N , µ σ ) Funktionen, die den Raum nach
endlich häufiger Anwendung von R verlassen, und dieses Problem hat man
für alle Räume L 2 (R N , µ κ ) mit κ ≥ σ, die den UV-Fixpunkt noch beinhalten.
(Vgl. dazu die Bemerkung zu F18 in Kapitel 2, die man entsprechend
verallgemeinern kann.)
Es wird noch eine letzte Änderung an der Definition des Operators vorgenommen,
bevor der Definitionsbereich festgelegt wird. Wie sich noch herausstellen
wird, ist d = 2 eine gewisse Grenze bei der analytischen Behandlung
des Operators. Daher ist es keine Einschränkung, der Konvention von Koch
und Wittwer zu folgen und die Freiheit bei der Wahl der Kovarianz σ
folgendermaßen auszunutzen. Man setzt
σ = γ(1 − β 2 ) .
Im HT-Bild ist dies sogar für 0 < d ≤ 4 immer möglich, denn für diese
Werte von d gilt 0 < β, β 2 < 1. Im UV-Bild ist es nur für 2 < d ≤ 4 möglich,
jedenfalls wenn man fordert, daß auch γ positiv sein soll. (vgl. Abb. 1.1)
Da dies nicht zwingend ist, kann man die Ersetzung auch für 0 < d < 2
vornehmen, und γ ist dann negativ. Im HT-Bild bekommt man erst später
das entsprechende Problem: Die Eigenfunktionen am UV-Fixpunkt kann man
für d = 2 nicht auf die gleiche Weise definieren wie für 2 < d ≤ 4. Aber es
soll zunächst auch nur 2 < d ≤ 4 betrachtet werden. Wenn dann später doch
der Fall 0 < d < 2 vorkommt, so wird im HT-Bild gerechnet, und dann kann
man anschließend über die Beziehung
σ HT = L −2 σ UV