Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

16 Kapitel 1. Das Modell
entscheidend, in anderen Situationen ist die Asymptotik der Fixpunkte wichtig
oder die Tatsache, daß der Wert von β im HT-Bild kleiner ist als im
UV-Bild.
Koch und Wittwer haben für den Fall N = 1, d = 3 im HT-Bild mit
σ HT = 1 2 (1 − β2 ) und L d = 2 die Existenz eines zusätzlichen nichttrivialen
(Infrarot-) Fixpunktes Z IR gezeigt. [KW91]
Von nun an sei immer L d = 2, wenn es nicht explizit anders erwähnt wird.
1.2 O(N)-Symmetrie
Da die Anzahl der lokalen Freiheitsgrade die Universalitätsklasse mitbestimmt,
ist man aus physikalischen Gründen an N-Komponenten-Modellen
interessiert. In der Natur kommen dabei häufig näherungsweise O(N)-symmetrische
Situationen vor. Die entsprechenden idealisierten mathematischen Modelle
sind etwa der Heisenberg-Ferromagnet oder das XY-Modell. Weitere Motivation
für die Untersuchung von N-Komponenten-Modellen ist die Frage, ob
ein N → ∞–Grenzwert existiert und ob man interpolierende Formeln für
kritische Exponenten und andere Größen in Abhängigkeit von der Anzahl
der Komponenten N und der Dimension d finden kann. Für große N ist die
1
-Entwicklung vielleicht eine Möglichkeit, eine solche Interpolation durchzuführen.
Dies ist aber vermutlich nur eine asymptotische Entwicklung und
N
für die physikalisch interessanten Werte 1, 2 und 3 von N kann man daher
keine guten Ergebnisse erwarten. (vgl. Ma in [DG76] für volle Modelle)
Schließlich kann man die Untersuchung von O(N)-Modellen als eine Vorstufe
der Untersuchung von SU(N)-Modellen betrachten.
Zunächst sei einmal explizit festgehalten, daß
O(N) := O(R N ,q E ) = {s|s Isometrie von R N mit der Einheitsform q E }.
(2)
Wobei die Einheitsform q E : R N → R definiert ist durch q E (x) = x 2 1 + . . . +
x 2 N . Ist s eine Isometrie von RN , so ist jedenfalls dets = ±1.
Nun betrachtet man folgende Operation der Gruppe O(N) auf einen Funktionenraum
F über R N :
O(N) × F ∋ (O, f) ↦→ Of := f ◦ O −1 .