Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.9. Exakte RG-Iterationen 55
ben durch ϕ c (x) = exp(cx 2 ). Dann gilt für alle n ∈ N 0 ,
( n−2 ∏ ( ∑l+1
) 2 ∑n−1
)
R n ϕ c (x) = 1 − 4σc (2β 2 )
n−2−l(1 ) −N/2
k − 4σc (2β 2 ) k
l=0
k=0
(
)
c(2β 2 ) n
exp
1 − 4σc ∑ n−1
.
k=0 (2β2 ) kx2
k=0
Beweis: Per Induktion nach n. Für c = 0 wie für n = 0 ist nichts zu
zeigen. Sei also c > 0 und c ′ der Vorfaktor von x 2 in der Behauptung. Mit
Induktionsvoraussetzung und Lemma 1 in Anhang A findet man:
R n+1 ϕ c (x)
= R R n ϕ c (x)
( n−2 ∏ ( ∑l+1
) 2 ∑n−1
)
= 1 − 4σc (2β 2 )
n−2−l(1 ) −N k − 4σc (2β 2 ) k Λ(−2c ′ ) N/2 ·
l=0
=
k=0
(
)
c(2β 2 ) n
exp
1 − 4σc ∑ n−1
)(βx) 2
k=0 (2β2 ) k2Λ(−2c′
( n−2 ∏ ( ∑l+1
) 2 ∑n−1
)
1 − 4σc (2β 2 )
(n+1)−2−l(1 ) −N/2
k − 4σc (2β 2 ) k ·
l=0
k=0
k=0
k=0
( ( ∑n−1
1 − 4σc (2β 2 ) k c(2β)
)(1 n ) ) −N/2
− 4σ
1 − 4σc ∑ n−1
·
k=0
k=0 (2β2 ) k
⎛
⎞
exp ⎝
c(2β 2 ) n+1
1 − 4σc ∑ 1
n−1
x 2 ⎠ .
k=0 (2β2 ) k c(2β)
1 − 4σ
n
1−4σ ∑ n−1
k=0 (2β2 ) k
Also stimmt die Behauptung.
⊳
Normiert man die Funktion nach jeder RG-Transformation, etwa durch die
Forderung, daß der Funktionswert an der Stelle 0 immer 1 sein soll, so konvergiert
diese Funktionenfolge gegen den Hochtemperaturfixpunkt.
Korollar 4 Sei a n der Vorfaktor der Exponentialfunktion in F18. In der
Situation von F18 gilt dann für die normierte RG-Transformation im Fall
c < 0:
n R n ϕ c (x) = exp(− 2β2 − 1
x 2 ) .
lim
n→∞ a−1
4σ