Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

36 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
denn es gilt
( ) −
(n!) 2 N
n−1
∏
2
(−4γ 2 ) n = n! (− N n
2 − i)(−4γ2 ) n
i=0
n−1
∏
= n! (N + 2i)(2γ 2 ) n
i=0
= n!N(N + 2)...(N + 2n − 2)(2γ 2 ) n .
Nun bleibt noch die Verallgemeinerung auf das Skalarprodukt in H b .
F8 (Orthogonalität der O(N)-invarianten Hermitepolynome)
Für 0 < b ≤ 1 und n, m ∈ N 0 gilt
( −
〈h n (γ) , h (γ)
m 〉 b,γ = (n!) 2 N
2
n
)(
( γ
) ) 2 n
− 4 δ n,m .
β
Beweis: Es ist (auch für b=1)
〈h (γ)
n , h (γ)
m 〉 b,γ =
FA.4
=
∑
ν 1 +···+ν N =n
m 1 +···m N =m
∑
ν 1 +···+ν N =n
( n
ν
( n
ν
)( m
µ)
〈H (γ)
2ν , H (γ)
2µ 〉 b,γ
) 2 ( γ
) 2nδn,m
(2ν)! ,
b
und für den Vorfaktor erhält man mit Hilfe von F7
∑
( 2 ( )
n −
(2ν)! = (n!)
ν) 2 N
2
(−4) n .
n
ν 1 +···+ν N =n
⊳
Wenn man nun wie in (1), (2), (3) und (4) eine Funktion Z aus B in eine
Reihe nach einer Basis entwickelt und diese dann in R einsetzt, so sieht man,
daß noch zwei weiteren Fragen wichtig sind: Wie entwickelt man ein Produkt
zweier Basisvektoren wieder nach der Basis? Und: Wie lautet die Entwicklung
eines der Hermitepolynome nach Hermitepolynomen mit anderer Kovarianz?
Diese Fragen kann man ebenfalls mit Hilfe der Funktionen G N beantworten.