Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

= 2 l
l∗
= 2 l
l∗
(
(
1 +
1 +
(
= 2 l
l∗ 1 +
5.1. ǫ-Entwicklung der Fixpunkte 93
∞∑
n=1
∞∑
n=1
(
1
− log(2) 2l
n!
1
n!
∞∑
m−1
∑
m=1 k=0
) n ( ) ( n ∞
)
ǫ ∑ ( ǫ
) n )
k
d ∗ d ∗ d ∗
k=0
(
− log(2) 2l
d ∗
) n ( ǫ
d ∗
) n ∞
∑
k=0
( n + k − 1
(
1
− log(2) 2l ) m−k ( ) m − 1 1
m
(m − k)! d ∗ k d ∗
} {{ }
=b (m)
l
k
) ( ǫ
d ∗
) k
)
)
ǫ m .
Die linke Seite der Fixpunktgleichung ergibt nun
2 l
l∗
∞∑
∞∑
m=0 k=0
b (m)
l
und die rechte Seite ergibt
∞∑
∞∑
i,j=0 k 1 ,k 2 =0
z (k)
l
ǫ m+k = 2 l
l∗
C ij
l
(N)z (k 1)
i z (k 2)
j ǫ k 1+k 2
=
Für die n. Ordnung bedeutet das
Es ist
2 l
l∗
n∑
k=0
b (n−k)
l
z (k)
l
=
∞∑
n∑ ∑
k=0
∞∑
n∑
n=0 k=0
n=0 k=0
i,j
n∑ ∑
i,j
C ij
l
(N)z (n−k)
i
b (n−k)
l
z (k)
l
ǫ n ,
C ij
l
(N)z (n−k)
i
z (k)
j ǫ n .
z (k)
j . (1)
z (0)
l
= δ l,0 , (2)
b (m)
0 = 0 für m > 0 und Cl
i0 = δ i,l . Letzteres gilt aufgrund der Summationsbedingung
in den C ij
l
. Es wird summiert über alle q, für die i, j, l ≤ q
und 2q ≤ i + j + l gilt. In diesem Fall wird also über alle q mit i, l ≤ q
und 2q ≤ i + l summiert. Die Ungleichungen sind für i ≠ l offenbar nicht
gleichzeitig erfüllbar. Daher bleibt von der Summe nur der Term i = l = q
übrig, und es ist
C i0
l (N) = i!4 i+l 1 2−4l
0!l!0! δ i,l = δ i,l .
Dies benutzt man in Gleichung (1). Mit den Gleichungen für z (0)
l
und b (0)
l
fällt
der erste Term der linken Summe fort, und mit der Gleichung für Cl
i0 kann