Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

110 Kapitel 6. Die Betafunktion
Mit ρ ′ := ρ−2
2β 2 gilt also
‖w‖ ρ ′ ≤
( ( 2
) ) 2 −N/2
1 −
‖u‖ ρ ‖v‖ ρ . (5)
ρ
‖·‖ ρ ist eine Algebranorm, falls ρ ≤ ρ ′ ist, denn dann hat man ‖w‖ ρ ≤ ‖w‖ ρ ′.
Für die Bedingung an ρ hat man die Äquivalenzen
ρ ≤ ρ ′
⇔ ρ ≥
2
1 − 2β ⇔ 2β2 ρ
2 ρ − 2 ≤ 1 . (6)
An der zweiten Ungleichung ist zu erkennen, daß es wichtig ist, im HT-Bild
zu rechnen. Nur dann ist 2β 2 < 1 und damit diese Bedingung erfüllbar.
Zusammengefaßt werden die Rechnungen in der folgenden Feststellung.
F1 Sei im HT-Bild ρ ≥ 2
1−2β 2 . Dann ist ‖·‖ ρ : B ρ → R ≥0 eine Algebranorm.
Es gilt für u, v ∈ B ρ
‖u × v‖ ρ ≤
( ( 2
) ) 2 −N/2
1 −
‖u‖ ρ ‖v‖ ρ .
ρ
6.3 H ist eine Kontraktion
Nun soll gezeigt werden, daß H eine Kontraktion ist, und es soll eine Reihenentwicklung
für die Fixpunkte von H hergeleitet werden.
Dazu führt man in die Fixpunktgleichung r ∗ = H(r ∗ ) einen weiteren Parameter
t ein, um zwischen der Trunkation des Systems und der vollständigen
Lösung zu interpolieren. Zu t ∈ R und x ∈ R M definiere r(x, ·) = r : R → R ∞
durch
r(t) := t · H(x, r(t))
Es ist natürlich noch zu klären, ob diese implizite Definition möglich ist,
d.h. ob r(t) existiert und eindeutig ist. Dazu wird die Reihenentwicklung
hergeleitet und die Konvergenz der Reihe gezeigt.
Jedenfalls leistet diese Gleichung das Gewünschte, falls eine Lösung existiert.
Es ist dann r(0) = 0 und r(1) = r ∗ . Der Fall t = 0 entspricht der Trunkation
des Systems, also der Methode, die zur numerischen Bestimmung der
Fixpunkte benutzt wurde.