Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

30 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
definierten Hermitepolynome H n : R → R eine Orthogonalbasis von L 2 (R, µ 1 ).
Dies ist der Spezialfall γ = 1 der H (γ)
n , definiert durch
H (γ)
n (x) := γ n/2 H n ( x √ γ
) =
[ n 2]
∑
j=0
(−γ) j n!
(n − 2j)!2 j j! xn−2j . (6)
Sie bilden eine Orthogonalbasis von L 2 (R N , µ γ ), wie man etwa durch Substitution
sieht. An der rechten Seite der Gleichung (6) erkennt man, daß die
Definition über diese Gleichung allgemeiner auch für γ ∈ R möglich ist.
Eine Orthogonalbasis des Tensorproduktes
N⊗
L 2 (R N , µ γ ) = L 2 (R, µ γ )
bilden folglich die H (γ)
µ : R N → R, µ = (n 1 , . . . , n N ) ∈ N N 0 , definiert durch
i=1
H (γ)
µ := H (γ)
n 1
⊗ . . . ⊗ H (γ)
n N
. (7)
Nun benötigt man aber eine Basis von L 2 (R N , µ γ ) O(N) . Im 1. Kapitel haben
wir gesehen, daß der Wert der Funktionen in L 2 (R N , µ γ ) O(N) an einer Stelle
x ∈ R N nur vom Wert der Funktion q E , also von q E (x) abhängt. Seien die
p n : R → R die durch p n (x) = x n definierten Polynomfunktionen, so bildet
also
{ˆp n := p n ◦ q E |ˆp n (x 1 , . . . , x n ) = (x 2 1 + · · · + x 2 n) n , n ∈ N 0 },
eine Basis von L 2 (R N , µ γ ) O(N) . Für die ˆp n gilt nun andererseits
ˆp n =
∑
ν 1 ,...,ν N
ν 1 +···+ν N =n
( n
ν 1 . . . ν N
)
p 2ν1 ⊗ · · · ⊗ p 2νN , (8)
und dieselbe Art von Linearkombination der H µ (γ) bildet eine O(N)-invariante
Orthogonalbasis:
h (γ,N)
n :=
∑
ν 1 ,...,ν N
ν 1 +···+ν N =n
( n
ν 1 . . . ν N
)
H (γ)
(2ν 1 ,...,2ν N ) .
Wenn klar ist, um welches N es sich handelt, wird es fortgelassen und kurz
h (γ)
n verwendet. Die O(N)-Invarianz dieser Polynome wird in F11 in diesem
Kapitel noch explizit nachgewiesen. Diese Polynome werde ich O(N)- ”
invariante Hermitepolynome“ oder auch ebenfalls Hermitepolynome“ nennen.
”