Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

32 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
von L 2 (R N , µ γ ) O(N) , die Entwicklung eines Produktes zweier Basispolynome,
h (γ)
n · h (γ)
m , nach der Basis und die Entwicklung eines Polynoms h (γ′ )
n in
Basispolynome.
Für die erste Aufgabe ist das Skalarprodukt 〈h (γ)
n , h (γ)
m 〉 γ = c · δ n,m zu berechnen.
Dabei ist das Problem nicht, die Orthogonalität zu zeigen (Sie ist
aufgrund von F A.4 klar.), sondern den Vorfaktor
c =
∑
ν 1 ,...,ν N
ν 1 +···+ν N =n
( n
ν
) 2
(2ν)!γ 2n
zu berechnen. Dies geht bequem, indem man nicht direkt vorgeht, sondern
zunächst die erzeugende Funktion ∑ ∞ a n
n=0 n! h(γ) n der O(N)-invarianten Hermitepolynome
berechnet. Hat man diese Funktionen bestimmt, so kann man
mit ihrer Hilfe auch die anderen beiden Gleichungen einfacher bestimmen.
Kurz geschrieben sucht man also
mit a ∈ R.
:e a(x2 1 +···+x2 N ) : γ = :e ax2 : γ =
∞∑
n=0
a n
n!
Definition 2 Die Funktionen G (γ)
N = G N : ] − 1
definiert durch
∞∑ a n
G N (a, x) :=
n! h(γ) n (x).
Diese Summe konvergiert:
n=0
F5 In der Situation von Definition 2 gilt für N = 1:
mit Λ(a) = 1
1+2γa .
G 1 (a, x) = Λ(a) 1/2 e aΛ(a)x2
:(x 2 ) n : γ
2γ , 1
2γ [ ×RN → R seien
Beweis: 1) Für |a| < 1 kann man 2γ Λ(a)m+1/2 für beliebige m ∈ N 0 in eine
Binomialreihe in y := 2γa entwickeln.
(1 + y) −m−1/2 =
∞∑
k=0
∏ k−1
i=0 (−m − 1 − i) 2
y k
k!