Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

112 Kapitel 6. Die Betafunktion
r (1)
k
= β 2k ∑ p,q
C pq
k (z rel) p (z rel ) q
n ≥ 2,
r (n)
k
= 2β 2k ∑ p,q
C pq
k (z rel) p r q
(n−1)
∑n−2
∑
+ β 2k
µ=1
p,q
C pq
k r(µ) p
r (n−1−µ)
q .
Mit dieser Kenntnis kann man eine Normabschätzung für die r (n) angeben.
F2 Sei im HT-Bild ρ ≥ 2 und (a
1−2β 2 n ) n∈N die rekursiv definierte Folge mit
a 1 := 1 und
∑n−2
a n := 2a n−1 + a µ a n−1−µ , n ≥ 2 .
µ=1
Sei ferner x ∈ D B . Dann gilt für alle n ∈ N:
‖r (n) ‖ ρ ≤
( ( 2
) ) 2 −Nn/2 ( ) 2β 2 nM
ρ
1 −
‖Z rel (x)‖ n+1
ρ a n .
ρ ρ − 2
Dies beweist man mit der folgenden Feststellung.
F3 (H ist eine Kontraktion) Sei im HT-Bild ρ ≥ 2
1−2β 2 , seien u, v ∈ B ρ
und w = u × v. Dann gilt
‖(1 − P)w‖ ρ ≤
( ( 2
) ) 2 −N/2 ( ) 2β 2 M
ρ
1 −
‖u‖ ρ ‖v‖ ρ .
ρ ρ − 2
Mit anderen Worten: Wählt man M nur groß genug, so ist H eine Kontraktion
auf der Kugel B q (0) = {r ∈ R ⊂ B ρ | ‖r‖ ρ ≤ q} ⊆ B ρ . Sei ˆx ∈ B ρ
vorgegeben, und sei x = (ˆx 0 , . . . , ˆx M−1 ) ∈ R M . Dann folgt für H:
‖H(x, r 1 ) − H(x, r 2 )‖ ρ
= ‖(1 − P)(2Z rel (x) × (r 1 − r 2 ) + (r 1 − r 2 ) × (r 1 + r 2 ))‖ ρ
( ( 2
) ) 2 −N/2 ( ) 2β 2 M
ρ
≤ 1 −
(2 ‖Z rel (x)‖ ρ + ‖r
ρ ρ − 2 } {{ } 1 + r 2 ‖ ρ )‖r
} {{ } 1 − r 2 ‖ ρ .
≤‖x‖ ρ
≤2q
Da nach Wahl von ρ der Faktor
(
)
2β 2 ρ
ρ−2
kleiner als 1 ist, ist der gesamte
Vorfaktor von ‖r 1 −r 2 ‖ ρ für genügend großes M kleiner als 1. Je größer man