Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

42 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Zunächst ändert man die Entwicklung der Funktion Z etwas ab, um die
Entwicklungskoeffzienten z n γ-unabhängig zu machen
Z =
∞∑
n=0
sorgt also für die be-
Die Entwicklung nach diesen Hermitepolynomen h (γ)
n
sonders einfache Gleichung
RZ =
∞∑
∞∑
k=0 m,n=0
Die Ck
nm (N) wurden in F10 definiert.
z n γ −n h (γ)
n . (14)
β 2k Ck
nm (N)z n z m γ −n−m+k
} {{ }
(R Z) k =:z k
′
γ −k h (γ)
k .
Man definiert
Ck
nm (N) := γ −n−m+k Ck nm (N) ,
und hat das Ziel erreicht, R als Abbildung R : R ∞
Genauer:
→ R ∞ aufzufassen.
F12 (Eine algebraische RG-Transformation) Entwickelt man die
Funktionen in D R nach den Hermitepolynomen h (γ)
n , so entspricht dem
Operator R eine Abbildung von einer Teilmenge D von R ∞ nach D, die
wieder mit R bezeichnet wird:
R ist gegeben durch
D ∋ z = (z 0 , z 1 , z 2 , . . .) ↦→ Rz ∈ D .
R ∋ z k ↦→ R (z) k = β 2k
∞
∑
m,n=0
C nm
k (N)z n z m .
Diese Feststellung wie auch die folgenden Bemerkungen gelten in beiden
Bildern, wenn man nur γ und β entsprechend wählt.
Dieses Resultat ist mit dem (N = 1)-Fall bei [PPW94] zu vergleichen. Es
ist dort
{
(2m)!(2n)!
Cl nm
: |m − n| ≤ l ≤ m + n
(1) =
(m+n−l)!(l+n−m)!(l+m−n)!
.
0 : sonst