Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

5.2. ǫ-Entwicklung der Eigenwertgleichung 99
nach ǫ und benutzt eine Verallgemeinerung der nicht entarteten Störungstheorie.
Die nullte Ordnung A(z) (0)
ln
ist diagonal. Die Eigenvektoren sind also (gleich
normiert) die kanonischen Einheitsvektoren bzgl. (·, ·), die Eigenwerte die
Werte auf der Diagonalen, und es gibt keine Entartung.
v (0)
µ = e µ = (δ n,µ ) und λ (0)
µ = 2 1− µ l∗ , µ ∈ N 0 (11)
Die Eigenwertgleichung (8) ergibt nach Einsetzen der Entwicklungen von v µ ,
λ µ und A für die k. Ordung (k ≥ 1)
k∑
n=0
=⇒ (A (0) − λ (0)
µ )v µ (k) = −
(A (k−n) − λ (k−n)
µ )v (n)
µ = 0
∑k−1
n=0
(A (k−n) − λ (k−n)
µ )v (n)
µ . (12)
An der linken Seite der Gleichung sieht man, daß man auf v µ (k) ein Vielfaches
von v µ (0) addieren kann, so daß (v µ (0) , v µ (k) ) = 0 für k ≥ 1 gilt. Dann bildet man
das Skalarprodukt von v ρ
(0) mit Gleichung (12) und nutzt die Symmetrie von
A (0) und die Orthogonalitätsrelationen (v µ (0) , v µ (k) ) = δ 0,k und (v ρ (0) , v µ (0) ) = δ µ,ρ
aus.
(λ (0)
ρ − λ (0)
µ )(v ρ (0) , v µ (k) ) = −
Für µ = ρ hat man
und für µ ≠ ρ
v (k)
µ,ρ = (v (0)
ρ , v (k)
µ ) =
∑k−1
n=0
(
)
(v ρ (0) ,A (k−n) v µ (n) ) − λ (k−n)
µ (v ρ (0) , v µ (n) )
∑k−1
λ µ (k) = (v µ (0) ,A (k−n) v µ (n) ) (13)
1
λ (0)
µ − λ (0)
ρ
n=0
∑k−1
n=0
(
)
(v ρ (0) ,A (k−n) v µ (n) ) − λ (k−n)
µ (v ρ (0) , v µ (n) ) .
(14)
Das fehlende Skalarprodukt wurde durch die Orthogonalitätsforderung
0 = (v (0)
µ , v (k)
µ ) =
∞∑
n=0
δ µ,n v (k)
µ,n = v (k)
µ,µ (15)