Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

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ersetzt man dazu Z durch ζ und nutzt die O(N)-Invarianz aus, indem man
gleich x = (x, 0, . . . , 0) wählt. Da vorausgesetzt wird, daß auch RZ wieder
von der Gestalt (1) ist, hat man folgende RG-Transformation für ζ (wodurch
man den asymptotischen RG-Operator definiert und mit dem gleichen
Symbol bezeichnet):
( x
(Rζ) N 2)
∫ ( )
1
= dµ σ (y)ζ 2N
N
N (y2 + 2βxy 1 + β 2 x 2 ) .
In dieser Gleichung ist y = (y 1 , . . . , y N ) und ‖y‖ 2 = y 2 . Da ohnehin große
N betrachtet werden sollen, nimmt man gleich N ≥ 3 an. Dann geht man
in den Koordinaten y 2 , . . . , y N zu Kugelkoordinaten in N − 1 Dimensionen
über, substituiert anschließend noch y 1 = √ Ns und r = √ Nq und erhält
(Rζ) N (x 2 )
1
= √ N
2πσ
=
∫ ∞
−∞
dy 1 e − y2 1
2σ
√
2π N−1 N ∫
2 N ∞
√ N
2πσ Γ(
N−1
) −∞
2
∫ ∞
0
∫ ∞
dre − r2
2σ r
N−2
∫ ( y
dΩ ζ 2N 2
1 + r 2
N
} {{ }
vol S N−2
+ βy 1x
√
N
+ β 2 x 2 )
ds dqe −N( s2 +q 2
2σ −log(q)) q −2 ζ ( 2N s 2 + q 2 + βsx + β 2 x 2) .
0
} {{ }
=:I
Der asymptotische Wert des Integrals I für große N soll nun mit Hilfe der
steepest descent–Methode bestimmt werden. Sei gleich angenommen, daß ζ
eine positive Funktion ist. Dann kann man logarithmieren und setzt
v := − log ζ .
Sei ferner f : R×R >0 −→ R die Funktion im Exponenten mit dem Vorfaktor
−N,
f(s, q) = s2 + q 2
− log(q) − 2v(s 2 + q 2 + βsx + β 2 x 2 ) ,
2σ
und g : R × R >0 −→ R die Funktion
g(s, q) = q −2 .
Zur Berechnung des Integrals sind dann die kritischen Stellen der Funktion
f zu bestimmen. Man sucht also die Nullstellen der Funktionen
∂f
∂s (s, q) = s σ − 2v′ (s 2 + q 2 + βsx + β 2 x 2 )(2s + βx)