Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.8. Eigenwerte der Linearisierung und Bifurkationen 53
2.8.3 Der Definitionsbereich H β
Durch Verallgemeinerung der jeweiligen Definitionen und Sätze von Koch
und Wittwer erhält man im HT-Bild noch die folgenden Aussagen zu A(f),
wenn man den Definitionsbereich H β wählt.
Definition 3 Für f ∈ H β sei die Norm ||| · ||| : H β → R ≥0 definiert durch
∫
|||f||| := (1 − β) −N dµ γ
1+β (x)|f(x)| .
1−β
F17 Sei im HT-Bild f ∈ H β mit |||f||| < ∞. Dann ist A(f) : H β → H β ein
beschränkter und linearer Operator auf H β , dessen Operatornorm kleiner
oder gleich 2|||f||| ist, und für den für alle g, h ∈ H β gilt:
∫
〈A(f)g, h〉 β,γ = 2 dµ γ (x)f(x)g(x)h(x) .
Beweis: (Z HT = 1 im HT-Bild) Sei n = (n 1 , . . . , n N ) ∈ N N 0 und k ∈ N N 0 .
Nach F14 gilt
A(Z HT )H n
(γ)
⇒ 〈A(Z HT )H n (γ) , H (γ)
k 〉 β,γ
= 2β |n| H (γ)
n .
= 2β |n| 〈H (γ)
n , H (γ)
k 〉 β,γ
FA.4
= 2〈H (γ)
n , H (γ)
k 〉 γ
Für beliebige Polynome f, g, h hat man dann aufgrund der Linearität des
Skalarproduktes
〈A(f)g, h〉 β,γ = 〈A(Z HT )(fg), h〉 β,γ = 2〈fg, h〉 γ .
Damit folgt die letzte Gleichung der Feststellung. (Wobei man die komplexe
Konjugation im reellen Skalarprodukt 〈·, ·〉 γ beibehalten muß.) Es genügt,
die Behauptung für Polynome zu beweisen, denn sie liegen dicht in H β . Also
setzt man die Abschätzung aus FA.6 ein und erhält
∫
|〈A(f)g, h〉 β,γ | ≤ 2 dµ γ (x)|f(x)||g(x)||h(x)|
∫
1
(
≤ 2 dµ γ (x)|f(x)|‖g‖ β,γ ‖h‖ β,γ √ exp 2β
)
1 − β
2 N 2γ(1 + β) x2
= 2‖g‖ β,γ ‖h‖ β,γ (1 − β) −N ∫
= 2‖g‖ β,γ ‖h‖ β,γ |||f||| . ⊳
dµ γ
1+β (x)|f(x)|
1−β