Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

22 Kapitel 1. Das Modell
von d ist der UV-Fixpunkt nicht in H r β . Der UV-Fixpunkt ist Z UV (x) =
N ∗ exp( 1−2β2
4γ(1−β 2 ) x2 ), und diese Funktion erfüllt nicht die Abschätzung, die die
Funktionen aus Hβ r erfüllen. Es gilt
1 − 2β 2
4γ(1 − β 2 ) > β
2γ(1 + β) ⇔ 1 − β − 2β2 > 0 ,
und die rechte Seite ist nicht richtig, da für 2 < d ≤ 4 gilt 1 2 < β, 2β2 . Der
Raum H β wird für die Verallgemeinerung einiger Zwischenresultate aus dem
Artikel [KW91] auf den N-Komponentenfall verwendet.
Es soll aber für die Rechnungen ein anderer Raum verwendet werden, der
analog zu dem Definitionsbereich im UV-Bild definiert wird. Dadurch kann
man wieder den UV-Fixpunkt im Definitionsbereich halten. Mit Hilfe des
UV-Fixpunktes definiert man einen Teilvektorraum des Raumes L 2 (R N , µ γ )
durch
L ′ ∞(R N , µ γ ) := L ′ ∞ := {f ∈ L 2 : fZ −1
UV beschränkt} ⊆ L 2(R N , µ γ )
und auf diesem Teilvektorraum die Norm ‖ · ‖ ′ ∞ durch
‖f‖ ′ ∞ := ‖fZ −1
UV ‖ ∞ .
Zusammen mit dieser Norm ist L ′ ∞ ein Banachraum. Der Nachweis, daß
R : L ′ ∞ → L ′ ∞ gilt, ist wieder ganz einfach:
∫
|(RZ)(x)| ≤ dµ γ (y)Z UV (y + βx) 2 ‖Z‖ ′ ∞2 = Z UV (x)‖Z‖ ′ ∞2 .
Wie man sieht, sind dann im HT-Bild auch die Polynome im Definitionsbereich.
Aufgrund der oben diskutierten Asymptotik der nichttrivialen Fixpunkte
sieht man wieder, daß sie in dem so definierten Definitionsbereich
liegen.
1.3.3 D R ist eine nichtassoziative Algebra
In beiden Bildern ist D R ein Vektorraum. Mit f, g ∈ D R und a, b ∈ R
ist also auch af + bg ∈ D R , und da R wieder nach D R abbildet ist auch
R (af + bg) ∈ D R . Rechnet man den Ausdruck einmal aus, so erhält man
∫
R (af + bg)(x) = a 2 Rf(x) + b 2 Rg(x) + 2ab dµ γ f(x + βy)g(x + βy) .