Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

4.1. Eine genäherte asymptotische Fixpunktgleichung 89
Setzt man ein Fixpunktpotential v ′ ∗ ein, ergibt dies
( v
′ )
t ∗
∗ = β 2 t
2β 2 ∗ (v ∗) ′ + σ , also t ∗ (v ∗) ′ = 1 ( v
′ )
β 2t ∗
∗ − σ 2β 2 β . 2
Seien nun v ′ und ṽ ′ nahe an der Ableitung des Fixpunktpotentials v ∗, ′ so daß
˜t ◦v ′ ≈ id und v ∗ ′ ≈ ṽ ′ ≈ v ′ . Indem man die Differenz ˜t(v ′ ) −t ∗ (v ′ ) betrachtet
und annimmt, daß sie in eine Reihe in v ′ zu entwickeln ist, erhält man zuerst
˜t(v ′ ) − t ∗ (v ′ ) = 1 ( ( v
′ ) ( v
′ ) )
t − t
} {{ } β
∑ 2 2β 2 ∗
2β 2
∞ } {{ }
m=0 gmv′m−1 ∑ ∞
m=0 g′ m v′m−1
und daraus
g ′ m = g m
1
β 2 ( 1
2β 2 ) m−1
.
Also sind die g m (v) die ”
scaling fields“, die Eigenfunktionen der linearisierten
asymptotischen RG-Transformation am Fixpunkt, und die zugehörigen
Eigenwerte sind
λ m = 2 −2−d d 2
− 2 d (m−1) = 2 d−2m
d = L d−2m m ∈ N 0 .
Wieder erhält man λ 0 = L d = 2 und λ 1 = L d−2 .