Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

52 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Beweis: Klar bzw. wie bei Korollar 3.
⊳
Bis auf den nullten Eigenwert ˆλ 0 = 2 sind alle Eigenwerte kleiner als 1 und
damit irrelevant. Es ist (2β) 2 = 2 1+ d. 2 Aus 2 < d ≤ 4 folgt 2 2 > 2 1+ 2 d ≥ 2 3/2 .
Damit hat man ( ) n ( ) n 1
2 <
4
ˆλ 1
n ≤ 2 .
2 3/2
Fig. 2.1: Die ersten 16 Eigenwerte am UV-Fixpunkt und die ersten 6 Eigenwerte
am HT-Fixpunkt. Die senkrechten Linien zeigen die Lage der entsprechenden
kritischen Dimensionen.
Bemerkung: Diese Feststellungen gelten im UV-Bild. Im HT-Bild vertauschen
die beiden Fixpunkte ihre Rollen, indem man β und γ durch die Werte
im HT-Bild ersetzt. Die Eigenwerte am UV-Fixpunkt und am HT-Fixpunkt
sind im HT-Bild je identisch mit denen im UV-Bild. Dies liegt daran, daß
die linearisierte RG-Transformation im HT-Bild mit der im UV-Bild durch
eine Ähnlichkeitstransformation verknüpft ist. (vgl. 1.1.1) Die Anzahl der
relevanten und irrelevanten Eigenvektoren und die Dimensionen d k , bei denen
ein weiterer relevanter Eigenvektor auftritt, bleiben also beim Übergang
zum HT-Bild ebenfalls gleich.
Zuletzt kann man aus den Eigenwerten den kritischen Exponenten ν für beide
Fixpunkte bestimmen [Hua87]. Man erhält ihn durch
ν = log(2)
d log(λ 1 ) .
Also ist ν UV = 1 2 und ν HT = − 1 2
. Der HT-Fixpunkt definiert keine kritische
Theorie.