Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

120 Anhang A. Gaußintegration und Hermitepolynome
gilt für alle p ≥ p ′ ≥ 1
da das Maß endlich ist.
L p (R N , µ σ ) ⊆ L p ′(R N , µ σ ) ,
Lemma 1 Ist c ∈ R, c < 1 , und F eine Funktion, so daß für die um y ∈ RN
2γ
verschobene Funktion F(· + y) ∈ L 1 (R N , dµ Lγ ) gilt, dann hat man
∫
dµ γ (x) exp(c(x + y) 2 )F(x + y)
∫
= Λ(−c) N/2 exp(cΛ(−c)y 2 ) dµ Λ(−c)γ (x)F(x + Λ(−c)y)
mit Λ(c) = 1
1+2γc .
Beweis:
∫
dµ γ (x) exp(c(x + y) 2 )F(x + y)
∫
(
)
d N x
=
(2πγ) exp − x2
N/2 2γ + c(x2 + 2xy + y 2 )) F(x + y)
} {{ }
1
=−2γΛ(−c) (x−2cγΛ(−c)y)2 +c(2cγΛ(−c)+1)y 2
∫
x→x+2cγΛ(−c)y
= exp(cΛ(−c)y 2 d N x
)
(2πγΛ(−c))
)
N/2Λ(−c)N/2
exp
(− x2
F(x + (1 + 2cγΛ(−c))y)
2γΛ(−c)
∫
= exp(cΛ(−c)y 2 )Λ(−c) N/2 dµ Λ(−c)γ (x)F(x + Λ(−c)y) ⊳
Lemma 2 Sei G : R N → R eine C 1 -Funktion in L 2 (R N , dµ γ ), für die auch
∂ k G, k ∈ {1, . . . , N}, in L 2 (R N , dµ γ ) liegt. Dann gilt
∫
∫
dµ γ (x)x k G(x + y) = γ dµ γ (x)∂ k G(x + y).