Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

8 Kapitel 0. Einleitung
Man hat also
∫
Z ′ (φ ′ ) =
dµ Γ (ψ)Z(L 1+ d 2 t Cφ ′ + ψ) .
Die Abbildung Z ↦→ Z ′ nennt man ”
Renormierungsgruppen-Transformation“.
(RG-Transformation). Γ wird auch ”
Fluktuationspropagator“ genannt, da
mit seiner Hilfe die Fluktuationen des Feldes auf Λ um das gemittelte Feld auf
Λ ′ beschrieben werden. Diese Fluktuationen werden bei der RG-Transformation
ausintegriert, um den Boltzmannfaktor auf Λ ′ zu erhalten. Im hierarchischen
Modell ist der Fluktuationspropagator ultralokal und erhält dadurch die Lokalität
einer Wechselwirkung. Ist also
Z(φ) = ∏ x∈Λ
z(x, φ(x))
ein Produkt, so ist auch Z ′ (φ ′ ) ein Produkt, wie man durch Einsetzen in die
RG-Transformation sieht.
∫ (
Z ′ (φ ′ ) = NDψ exp − 1 ∑ N∑
ψ k (x) ∑ )
δ x,y ψ k (y) ·
2γ
x∈Λ k=1 y∈Λ
∏
z(x, L 1− d 2 φ ′ ([x]) + ψ(x))
=
∫
x∈Λ
= ∏
x ′ ∈Λ ′ ∫
=:
∏
NDψ ∏ (
exp
x∈Λ
∏
− 1
2γ
N∑
ψ k (x)
)z(x, 2 L 1− d 2 φ ′ ([x]) + ψ(x))
k=1
x:x∈x ′ dµ γ (ψ(x))z(x, L 1− d 2 φ ′ (x ′ ) + ψ(x))
x ′ ∈Λ ′ z ′ (x ′ , φ ′ (x ′ )) .
Wobei die abkürzende Schreibweise
( ∏ N∏
Dψ =
x∈Λ k=1
)
dψ k (x)
benutzt wurde und N der Normierungsfaktor des Gaußschen Maßes ist. Diese
Rechnung ist aufgrund der Abhängigkeit der Funktion z vom Ort sogar allgemeiner
als für die weitere Rechnung benötigt. Für eine Theorie mit lokaler
Wechselwirkung ist
Z(φ) = ∏ x∈Λ
exp(−V(φ(x))) ,