Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

54 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Falls also für eine Funktion f ∈ Hβ r für alle x ∈ RN f(x) > 0 gilt, so ist A(f)
ein positiver Spurklasse-Operator mit der Spur Tr(A(f)) = 2|||f|||: Aus der
letzten Gleichung von F17 entnimmt man, daß A(f) selbstadjungiert und
positiv ist. Für die Berechnung der Spur sind die Normierungsfaktoren für
die Basis aus den H n
(γ) zu berücksichtigen.
Tr(A(f)) =
∑
n∈N N 0
= 2 ∑
∫
= 2
∫
= 2
n∈N N 0
( β
γ
= 2|||f|||
( β
γ
) |n| 1
n! 〈A(f)H(γ) n , H n (γ) 〉 β,γ
) |n| 1
n!
∫
dµ γ (x)f(x)E (γ)
β
(x, x)
dµ γ (x)f(x)(H (γ)
n ) 2
1
dµ γ (x)f(x) √ exp(− 2β
1 − β
2 N 2γ(1 + β) x2 )
Die Definition der Funktion E (γ)
β
befindet sich in Anhang A. Für den Fall
N = 1 und d = 3 haben Koch und wittwer die Voraussetzungen für den
nichttrivialen Fixpunkt nachgewiesen. Vermutlich gelten die Voraussetzungen
für alle nichttrivialen Fixpunkte mit beliebigem N ∈ N und d ∈ ]2, 4].
2.9 Exakte RG-Iterationen
Nachdem die Eigenwerte bei den Fixpunkten bekannt sind, soll eine exakte
Iteration der RG-Transformation durchgeführt werden. Bei Gaußfunktionen
ist dies möglich. Wählt man in der unten definierten Funktion c sehr klein,
so startet man mit dieser Iteration bzgl. der Hilbertraumnorm in der Nähe
von Z UV und nähert sich unter der Iteration dem Hochtemperaturfixpunkt
Z HT , wenn man zusätzlich nach jeder Iteration so normiert, daß RZ(0) = 1
ist. Zunächst wird das UV-Bild betrachtet. Mit einem kleinen Bezeichungsmißbrauch
sei mit R nur die Operationsvorschrift gemeint.
F18 (Iteration von R auf Gaußfunktionen) Sei c ∈ R ≤0 und ϕ c gege-