Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

44 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
2.5 Entwicklung nach Potenzen des Betragsquadrates
Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, eine besonders einfache algebraische
RG-Transformation zu erhalten. Dafür wählt man eine Basis, für die die
Entwicklung nach Gleichung (2) auf Seite 26 trivial ist. Dies ist für die Funktionen
ˆp n = p n ◦ q E der Fall, denn für sie gilt
ˆp nˆp m = ˆp n+m .
Die RG-Transformation einer Funktion Z aus D R
∞∑
Z = z n σ −nˆp n
n=0
mit der Entwicklung
lautet dann:
(RZ)(y)
∞∑
=
=
F11
=
=
m,n=0
∞∑
m,n=0
∞∑
∫
z n z m
σ n+m
z n z m
σ
n+m(βy)
n+mh(−σ)
n+m
∑
n+m−1
z n z m
σ n+m m,n=0 k=0 i=k
∞∑
∞∑
k=0 m,n
dµ σ (x)((x + βy) 2 ) n+m
∏
z n z m Sk
nm (N)β 2k
} {{ }
(R Z) k =:z k
′
( n + m
(N + 2i)
k
σ −k ((y) 2 ) k .
)
σ n+m−k β 2k ((y) 2 ) k
Wobei man
S nm
k (N) :=
{ ∏ n+m−1
i=k
(N + 2i) ( )
n+m
: k ≤ n + m
k
0 : k > n + m
definiert. Damit erhält man wieder eine algebraische RG-Transformation.
F13 (Eine weitere algebraische RG-Transformation)
Entwickelt man die Funktionen in D R nach den Potenzen ˆp n = p n ◦ q E von