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4 Kapitel 1 ⊗ Einführung & Motivation delle. In Kapitel 4 wird ein eindimensionales QW Modell mit mehreren Coins besprochen. Der Einfluß verschiedener Coin Startzustände wird studiert. Hier wird gezeigt, daß für Zustände mit einer bestimmten Struktur der Ortsmittelwert des QW mit einem Verschränkungsmaß in direkten Zusammenhang gebracht werden kann. In Kapitel 5 wird diese Untersuchung auf mehrdimensionale QW Modelle erweitert. Darin ist es möglich Ortskorrelationen zu betrachten und so mehr Information über verschränkte Coin Startzustände zu erhalten. Das abschließende Kapitel 6 faßt die Hauptergebnisse zusammen. Zur Notation: – Wie bereits bemerkt, wird in dieser Arbeit die englische Bezeichnung Quantum Walk“ verwendet. Eine passende deutsche Übersetzung wäre Quantenzufallsweg. Da aber Zufall keine Rolle spielt, sondern der Walk durch eine unitäre Zeitentwicklung ” beschrieben wird, ist der Zufallsbegriff obsolet. Übrig bliebe nur der Quantenweg oder der Quantengang. Der Autor hat sich deshalb für den englischen Ausdruck entschieden. Da die Fachliteratur auf englisch abgefaßt wird, werden in anderen Fällen die äquivalenten Ausdrücke meist in Klammern mitgeliefert.
Kapitel 2 Verschränkungsmessung und Polynomiale Invarianten In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Verschränkungstheorie erläutert, die im weiteren Verlauf der Arbeit gebraucht werden. Die Frage nach einer Quantifizierung der Verschränkung ist zweigeteilt. Was wird gemessen und wie wird gemessen? Vor der eigentlichen Messung kommt zuerst die Charakterisierung des verschränkten Zustandes. Welchen Arten von Verschränkung gibt es? Erst nach einer Untersuchung der Verschränkungsstruktur kommt die Entwicklung entprechender Verschränkungsmaße. Der erste Abschnitt gibt eine kurze Übersicht der Ergebnisse auf dem Gebiet der Verschränkungstheorie. Danach folgt die beispielhafte Anwendung der Maße auf reine 3-Qubit Zustände, da obige Fragen für diese Art bereits geklärt sind. Die Quantifizierung von Zuständen mit vier Qubits ist diffiziler. Da diese Zustände noch Gegenstand aktueller Diskussion sind, werden im letzten Abschnitt polynomiale Invarianten zur Messung einer echten 4-Qubit Verschränkung betrachtet und mit vorhandenen Methoden verglichen. 2.1 Grundlagen In diesem Abschnitt werden grundlegende Aussagen über Verschränkungsmessung und Verschränkungscharakterisierung vorgestellt. Verschränkte Zustände wurden schon bei Einführung der Quantenmechanik diskutiert, stoßen sie doch an die Grenzen des klassischen Verständnisses. Die Diskussion um das EPR-Paradoxon zwischen Einstein, Podolsky und Rosen [40] auf der einen, und Bohr [20] auf der anderen Seite ging in die Wissenschaftsgeschichte ein. Der Begriff der Verschränkung geht zurück auf eine Arbeit von Schrödinger [102]. Einführende Übersichtsartikel verfaßten Horodecki [60], Bruß [26], Terhal [108] und Plenio [96]. Verschränkung hat nur im Kontext von mehreren Quantenteilchen eine Bedeutung. Der zugehörige Hilbertraum wird als Produktraum der Subsysteme geschrieben. Um verschränkte Zustände zu quantifizieren gibt es zwei Ansätze [16] und zwei Regime, die es zu unterscheiden gilt: die formale mathematische Definition und den operationellen Ansatz, das endliche und das asymptotische Regime. Im endlichen Regime behandelt man einzelne Zustände, im asymptotischen Bereich, Sequenzen von Zuständen. Die formale Definition ist einfach. Reine Zustände heißen verschränkt, falls sie nicht als Produktzustände geschrieben werden können: |ψ 12...N 〉 ≠ |ψ 1 〉 ⊗ |ψ 2 〉 ⊗ ... ⊗ |ψ N 〉, (2.1) 5
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102 Kapitel 6 ⊗ Zusammenfassung a
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Anhang A Charakterisierung der 3- u
Seite 113 und 114:
107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
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Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118:
111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120:
113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124:
LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126:
LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128:
LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129:
Danksagung Zum Schluß der Dank den
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