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80 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
Vom dreidimensionalen Mittelwert werden die Kovarianzen und das Produkt der eindimensionalen
Mittelwerte abgezogen, wobei die Kovarianzen mit den eindimensionalen Mittelwerten
gewichtet werden. Das Ergebnis liefert aber nicht den gewünschten Zusammenhang.
Auch nach einer Mittelung über die Phasenwinkel, wäre diese Größe beispielsweise nicht
proportional zum Tangle, da für γ = 1/ √ 2 der komplette Term gleich Null ist, obwohl bei
diesem Wert die Verschränkung maximal wäre.
Zusammenfassend läßt sich folgendes sagen. Eine direkte Abbildung der Verschränkung auf
die Kovarianzen ist nicht gegeben. Im Gegensatz zum diskutierten 2-Qubit Beispielzustand
(5.97), ist für den 3-Qubit GHZ-Zustand die Kovarianz proportional zum Tangle bzw. zur
Globalverschränkung Q. Einen Hinweis auf eine nicht vorhandene 2-Qubit Verschränkung,
die Concurrences sind 0, geben die zweidimensionalen Mittelwerte 〈x i x j 〉, welche für den
gesamten Parameterbereich konstant und nicht parameterabhängig sind.
5.3.2.2 Verallgemeinerter W-Zustand |ψ 6 〉
Ein etwas komplizierterer Zustand, von der Parameterabhängigkeit her gesehen, ist der
bereits diskutierte Zustand (vgl. Anhang A):
mit der Normierung 2κ 2 1 + κ2 2 = 1, mit
|ψ 6 〉 = κ 1 |001〉 + κ 2 |010〉 + κ 1 |100〉 (5.146)
κ 1 =
√ χ
2 √ η
κ 2 = − 2 √ χ
√ η
(5.147)
und
η = √ 12 + ∆(∆ − 4) χ = η + ∆ − 2. (5.148)
Der Zustand ist Eigenzustand einer speziellen Heisenberg Spinkette, mit einer Anisotropie
∆. In Abhängigkeit dieses Parameters ∆ werden die Verschränkungsmaße bzw. die Ortserwartungswerte
diskutiert.
Der Zustand hat kein Tangle, τ 123 = 0, gehört folglicherweise nicht zur GHZ-Klasse. Die
jeweiligen Concurrences sind aber von Null verschieden:
C 12 = C 23 = 2 η
C 13 =
4
η(η − ∆ + 2) , (5.149)
der Zustand gehört somit in die W-Klasse. Die Gesamtverschränkung Q ist nach (2.16)
somit nur eine Funktion der quadrierten Concurrences. Für ∆ → ∞ kann der Zustand als
Produkt von Qubit 1 und 3 mit Qubit 2 geschrieben werden:
|ψ 6 〉 ≈ 1 √
2
(|001〉 + |100〉) = 1 √
2
(|01〉 13 + |10〉 13 ) ⊗ |0〉 2 (5.150)
In diesem Fall gehen C 12 und C 23 gegen 0, C 13 wird maximal. Für den speziellen Wert
∆ = 3 hat der Zustand W-Form (2.31) und die Concurrences sind alle gleich. Die Diskussion
dreht sich im folgenden um diese beiden Spezialfälle.
Die Berechnung der Mittelwerte für einen dreidimensionalen QW mit |ψ 6 〉 als Coin Start-