Dokument_1.pdf (3712 KB) - OPUS Bayreuth - Universität Bayreuth

3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 39
Für die Berechnung des Erwartungswertes beider Richtungen 〈xy〉 wird (3.25) zweimal
angewandt:
〈xy〉 = − 1
(2π) 2 ∫ π
k x,k y=−π
dk x dk y 〈φ 0 |(U † k x
) t
d
d kx
U t k x
⊗ (U † k y
) t
d
dk y
U t k y
|φ 0 〉. (3.78)
Die einfache Berechnung der Erwartungswerte über diese Methode ist nur möglich, da
die Würfeloperatoren in beide Richtungen unabhängig voneinander sind. Die Anwendung
des Grover bzw. DFT Operators beispielsweise, würde eine komplexere Auswertung nötig
machen.
3.3.2 3D und 4D
Die Erweiterung auf drei bzw. vier Raumdimensionen macht keine großen Unterschiede
zum zweidimensionalen Fall. Die Basis im Coinraum wird um die nötigen Qubits erweitert.
Man nimmt die Computational Basis und nummeriert die Zustände binär durch. Im
dreidimensionalen Fall ergebens sich 2 3 Basiszustände, nummeriert von 1 bis 8:
|0〉 ⊗ |0〉 ⊗ |0〉 = |000〉 =: |1〉 |1〉 ⊗ |0〉 ⊗ |0〉 = |100〉 =: |5〉 (3.79)
|0〉 ⊗ |0〉 ⊗ |1〉 = |001〉 =: |2〉 |1〉 ⊗ |0〉 ⊗ |1〉 = |101〉 =: |6〉 (3.80)
|0〉 ⊗ |1〉 ⊗ |0〉 = |010〉 =: |3〉 |1〉 ⊗ |1〉 ⊗ |0〉 = |110〉 =: |7〉 (3.81)
|0〉 ⊗ |1〉 ⊗ |1〉 = |011〉 =: |4〉 |1〉 ⊗ |1〉 ⊗ |1〉 = |111〉 =: |8〉. (3.82)
Im vierdimensionalen Fall entsprechend 2 4 Zustände, die mit 1 bis 16 bezeichnet werden:
|0000〉 := |1〉, |0001〉 := |2〉,... , |1111〉 := |16〉. (3.83)
Die Qubits werden den einzelnen Raumrichtungen x i zugeordnet, wobei Qubit 1 der Richtung
x 1 entspricht, usw. Die allgemeinen QW Zustände in 3D bzw. 4D zum Zeitpunkt t
sehen wie folgt aus:
|ψ(t)〉 = ∑
x 1 ,x 2 ,x 3
8∑
α j (x 1 ,x 2 ,x 3 ,t)|x 1 ,x 2 ,x 3 ,j〉 (3.84)
j=1
|ψ(t)〉 =
∑
x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4
16∑
j=1
α j (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,t)|x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,j〉, (3.85)
wobei |x 1 ,x 2 ,x 3 ,j〉 := |x 1 〉 ⊗ |x 2 〉 ⊗ |x 3 〉 ⊗ |j〉 ist. Als Würfeloperator wird das Produkt
von drei bzw. vier Hadamardoperatoren angenommen. Die Anwendung der Würfel- (Ĥ)
und Shiftoperatoren (Ŝ) kann wie im zweidimensionalen Fall in Tabellenform dargestellt
werden. Passende Simulationsalgorithmen lassen sich direkt aus der Tabelle ablesen. Der
dreidimensionale QW ist in Tabelle 3.2, der vierdimensionale QW in Tabelle 3.3 aufgeschlüsselt.
Da ein Produktwürfeloperator verwendet wird, kann der Entwicklungsoperator Ê als Produkt
der eindimensionalen Operatoren geschrieben werden:
Ê =
( (Ŝ+1
x i
⊗ |0 xi 〉〈0 xi | + Ŝ−1 x i
⊗ |1 xi 〉〈1 xi | )( 11 xi ⊗ Ĥ)) ⊗i
. (3.86)
Die Korrelationen der einzelnen Raumrichtungen sind also nur durch den Coin Startzustand
bedingt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen berechnen sich durch Summation der