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3.2 Erweiterung des Coinraumes 33
0.15
Wahrscheinlichkeit
0.1
0.05
0
50 100 150 200 250
Gitterplatz
Abbildung 3.4: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines QW mit Geschichtsabhängigkeit für unterschiedliche
Coinanzahl, M = 2 (durchgezogen) und M = 3 (gestrichelt).
Verteilung auf. Diese können mit einem leichten Argument erklärt werden. Die Peaks sind
Interferenz Phänomene, die sich aus Zuständen ergeben, die nach mehreren Zeitschritten
auf sich selbst abgebildet werden, z.B. für M = 2:
( ) ( )
t=2
|x,01〉 − |x,10〉 −−→ |x,01〉 − |x,10〉
(3.43)
Die Umsetzung eines Parrondo Spiels funktioniert nun wie folgt. Man benötigt dazu einen
QW mit M = 3 und zwei verschiedene Spiele Â, ˆB, wobei Â, ˆB einer Kombination ÔĈ
mit spezieller Parameterwahl ρ entspricht. Für das Spiel  wählt man:
Im Spiel ˆB führt man einen entsprechenden Bias ein, z.B.:
ρ 00 = ρ 01 = ρ 10 = ρ 11 = 0.5. (3.44)
ρ 00 = 0.55 ρ 01 = ρ 10 = ρ 11 = 0.5. (3.45)
Beide Spiele, unabhängig voneinander ausgeführt, liefern einerseits einen Erwartungswert
gleich 0, andererseits einen negativen Erwartungswert. Führt man nun die Operatoren
nacheinander aus, d.h.
|ψ(t + 1)〉 = ˆB ˆBÂÂ|ψ(t)〉, (3.46)
so ergibt sich ein positiver Erwartungswert, ein Quanten Parrondo Effekt.
Wie man sieht bietet das Modell des QW mit Geschichtsabhängigkeit mehrere interessante
Phänomene. Durch Kombination spezieller Operatoren ist es möglich, den Erwartungswert
zu lokalisieren. Der Einfluß der nicht benutzten Coins im Coinraum spielt hier
die entscheidende Rolle. Ebenso besteht die Möglichkeit, Quantenspiele innerhalb eines
Quantum Walks umzusetzen.