Dokument_1.pdf (3712 KB) - OPUS Bayreuth - Universität Bayreuth

3.4 Nichtlineare 1D Modelle 43
menhang zwischen der Coin-Gitter Verschränkung und der Ortsverteilung.
Wie bereits erwähnt, sollen die Ortszustände nun Eigenzustände eines Hamiltonoperators
sein. Der Hilbertraum H ist Produktraum, bestehend aus Ortsraum H P und Coinraum
H C . Die Zeitentwicklung wird beschrieben durch einen Operator Ê. Zusätzlich wird eine
Zeitentwicklung des Systems eingefügt auf dem der Walk stattfindet. Die charakteristische
Größe ist der Faktor τ, der die Zeit zwischen den einzelnen Schritten des Quantum Walks
angibt. Die Zeitentwicklung erfolgt über die Schrödingergleichung, mit einem Zeitentwicklungsoperator
exp(−iĤPτ/). Der gesamte Entwicklungsoperator für den Quantum Walk
sieht nun wie folgt aus:
Ê(τ) = Ŝ(Ĉ ⊗ e− i ĤP τ ). (3.93)
Der Shiftoperator Ŝ und der Coinoperator Ĉ sind äquivalent zum diskreten eindimensionalen
Modell definiert. Durch den Operator Ê(τ) erhält der Walker an jedem Gitterpunkt
eine τ-abhängige Phase. Falls die Phasendifferenz zwischen Eigenzuständen benachbarter
Gitterpunkte ganzzahlige Vielfache von 2π ist, ereignet sich eine vollständige Phasenneueinstellung.
Das daraus resultierende kleinstmögliche Zeitintervall ist gegeben durch die
Talbot-Zeit (siehe z.B. [18,19]):
2πλ
T = , (3.94)
E n − E n+2
wobei λ eine spezifische systemabhängige Ganzzahl ist und die E n Energieeigenwerte des
zugehörigen Hamiltonians. Die Analyse kann also auf τ ∈ [0,T] beschränkt werden. Der
einfachste Fall behandelt den Harmonischen Oszillator mit dem Hamiltonoperator:
Ĥ P = ω(ˆn + 1 2 ) (3.95)
und der bekannten Wirkung auf die Eigenzustände bzw. hier die Ortszustände |n〉:
Ĥ P |n〉 = E n |n〉. (3.96)
Die Talbotzeit des Harmonischen Oszillators ist T = π ω
, mit λ = 1. Damit ergibt sich
folgende Darstellung:
e − i Ĥpτ = e −iπ(n+1 2 )τ , (3.97)
wobei in Einheiten der Talbot-Zeit gerechnet wird, τ also dimensionslos ist, τ ∈ [0,1]. Um
den Grundzustand nicht zu erreichen, wird der Walk lokalisiert in einem hochangeregtem
Zustand gestartet. Das Ausbreitungsverhalten des Walks ist τ-abhängig. In Abb. 3.7 sind
der Mittelwert und die Standardbweichung in Abhängigkeit des Parameters τ aufgetragen.
Je nach Wahl von τ ergibt sich eine Ausbreitung vergleichbar mit dem diskreten QW, periodischen
Oszillationen der Wahrscheinlichkeit, bis hin zur kompletten Lokalisierung des
Zustandes am Ursprung. In den Abb. 3.8 ist die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
für verschiedene τ dargestellt. Man kann klar die Periodizität erkennen, die sich
in Abhängigkeit von τ ergibt.
Die Veranlassung zur weiteren Beschäftigung mit diesem Modell ergab sich aus der Betrachtung
der Verschränkung zwischen Coin und Gitter in Abhängigkeit des τ Parameters.
Ein Maß zur Betrachtung der Coin-Gitter Verschränkung ist die Verschränkungsentropie,
vgl. (2.4):
E C (t) = − ∑ j
λ j log 2 (λ j ), (3.98)