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5.1 Berechnungen zur Hadamard Entwicklung 61
Im folgenden wird t gerade angenommen und für θ 1 = θ geschrieben. Damit ergibt sich
für die Summe bzw. Differenz der Eigenwerte im positiven k-Bereich k ∈ [0,π] sowie im
negativen k-Bereich k ∈ [−π,0[:
Weitere Zwischenrechnungen liefern:
c +
= 1 (
cos k
)
√
c + − c − 2 1 + cos 2 k + 1
und
λ t 1 + λ t 2 = 2cos tθ λ t 1 − λ t 2 = 2isin tθ. (5.11)
c −
= 1 (
cos k
)
√
c + − c − 2 1 + cos 2 k − 1
(5.12)
c + c − = −e 2ik c + − c − = 2e ik√ 1 + cos 2 k. (5.13)
Daraus folgt für die Elemente a ij der Matrix H t k :
a 11 =
icos k sin tθ
√ + cos tθ
1 + cos 2 k a
12 = ieik sin tθ
√
1 + cos 2 k
(5.14)
a 21 = ie−ik sin tθ
√
1 + cos 2 k = −a∗ 12
a 22 =
−icos k sintθ
√
1 + cos 2 k + cos tθ = a∗ 11. (5.15)
Man erhält also eine vereinfachte Darstellung:
(
Hk t = a
−b ∗ )
b
,
a ∗ (5.16)
wobei a 11 := a und a 12 := b gilt.
5.1.2 Berechnung der Erwartungswerte
Wie bereits in Kapitel 3 gezeigt, können mit einer Erweiterung der Gleichung von Brun et
al. [25] die Ortserwartungswerte der höherdimensionalen QW Modelle analytisch berechnet
werden. Ausgangspunkt war der Zusammenhang zur Berechnung der Momente des
eindimensionalen QW:
∫ π
[
〈x m 〉 = im
dk 〈φ 0 |(U † d
m
]
2π
k )t −π dk m Ut k |φ 0 〉 (5.17)
wobei U k ein allgemeiner Coinoperator und |φ 0 〉 der Startzustand im Coinraum ist. In den
folgenden Modellen werden Produkte des Hadamardoperators H als Coinoperator verwendet.
In den beiden nächsten Unterabschnitten sollen nun Vereinfachungen des Operators
im Integranden
(H † k )t d m
dk m Ht k (5.18)
abgeleitet werden. Diese Vereinfachungen ermöglichen eine weitere analytische Auswertung.
5.1.2.1 Mittelwerte
Zur Berechnung der Mittelwerte setzt man in (5.17) m = 1 und erhält für die Entwicklungsmatrix:
( )( )
(H † d
k )t dk Ht k = a ∗ −b a ′ b ′
=
b ∗ a (−b ∗ ) ′ (a ∗ ) ′
(
) ( )
a ∗ a ′ + b(b ∗ ) ′ a ∗ b ′ − (a ∗ ) ′ b c
:= 1 d 1
(5.19)
a ′ b ∗ − a(b ∗ ) ′ a(a ∗ ) ′ + b ′ b ∗ −d ∗ 1 c ∗ 1