Dokument_1.pdf (3712 KB) - OPUS Bayreuth - Universität Bayreuth

66 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
5.2 Zweidimensionaler QW
5.2.1 Berechnung der Erwartungswerte
Im folgenden werden die Ortserwartungswerte für einen allgemeinen Coin Startzustand
|φ 0 〉 = α|00〉 + β|01〉 + γ|10〉 + δ|11〉, (5.51)
mit α,β,γ,δ ∈ C, abgeleitet. Dazu werden die oben bewiesenen Vereinfachungen bzw.
Relationen verwendet. Betrachtet werden die Mittelwerte sowie die 2. Momente. Zur Berechnung
wird zuerst der Integrand der Gleichung (3.76) ausgewertet.
〈x〉 =
i
(2π) 2
∫π
k x,k y=−π
wobei folgende Kurzschreibweise eingeführt wurde:
Die Integration über k y liefert einen Faktor 2π:
dk x dk y 〈φ 0 |(H † k x
) t d
Hk t dk x
⊗ (H † k y
) t Hk t y
|φ 0 〉, (5.52)
} {{ x
} } {{ }
:= H e(1)
=11
kx
〈x〉 = i
2π
˜H (1)
k x
:= (H † k x
) t d
dk x
H t k x
(5.53)
∫ π
−π
(1)
dk x 〈φ 0 | ˜H
k x
⊗ 11|φ 0 〉 (5.54)
Der Operator
˜H
(1)
k x
⊗ 11 sieht in Matrixdarstellung wie folgt aus:
( ) ( )
˜H (1) c
k x
⊗ 11 = 1 d 1 1 0
⊗
−d ∗ 1 c ∗ 1 0 1
Die Auswertung des Integranden liefert:
(5.55)
〈φ 0 |
˜H
(1)
k x
⊗ 11|φ 0 〉 = c 1 {|α| 2 + |β| 2 } + c ∗ 1 {|γ|2 + |δ| 2 }+
d 1 {α ∗ γ + β ∗ δ} − d ∗ 1 {αγ∗ + βδ ∗ } (5.56)
Nun kann die Integration ausgeführt werden. Mit den Lemmas (1) und (2) lassen sich
die jeweiligen Koeffizienten zusammenziehen. Dies führt auf einen Ausdruck für den x-
Mittelwert in Abhängigkeit der Amplituden des Coin Startzustandes:
〈x〉 = ˜c 1 {|α| 2 + |β| 2 − |γ| 2 − |δ| 2 } + ˜d 1 {α ∗ γ + β ∗ δ + αγ ∗ + βδ ∗ } (5.57)
Die Zeitabhängigkeit des Mittelwertes steckt alleine in den ˜c 1 bzw. ˜d1 Integralen. Die
Berechnung des Mittelwertes in y-Richtung erfolgt ähnlich. Man erhält durch Einsetzen
in (3.77):
wobei ˜H(1) k y
〈y〉 = i
2π
∫ π
−π
dk y 〈φ 0 |11 ⊗
˜H
(1)
k y
|φ 0 〉, (5.58)
äquivalent zu (5.53) definiert ist. Die Auswertung des Integranden liefert
〈φ 0 |11 ⊗ ˜H ky |φ 0 〉 = c 1 {|α| 2 + |γ| 2 } + c ∗ 1{|β| 2 + |δ| 2 }+
d 1 {α ∗ β + γ ∗ δ} − d ∗ 1{αβ ∗ + γδ ∗ } (5.59)