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70 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle 5.2.3 Kovarianz und Korrelationen Die Kovarianz ist definiert als: Cov(x,y) = 〈(x − 〈x〉)(y − 〈y〉)〉 = 〈xy〉 − 〈x〉〈y〉 (5.94) und ist ein Maß für eine Korrelation der beiden Ortsverteilungen x und y. Die Kovarianz ergibt sich aus der Kombination der bereits abgeleiteten Erwartungswerte zu: Cov(x,y) = ˜c 1 2 { (|α| 2 + |δ| 2 ) − (|β| 2 + |γ| 2 ) − (|α| 2 − |δ| 2 ) 2 + (|β| 2 − |γ| 2 ) 2} + 2 ˜d { 1 (|α| 2 + |δ| 2 )(α ∗ δ + αδ ∗ ) + (|β| 2 + |γ| 2 )(β ∗ γ + βγ ∗ )− } γβ(α ∗2 + δ ∗2 )γ ∗ β ∗ (α 2 + δ 2 ) − αδ(β ∗2 + γ ∗2 )α ∗ δ ∗ (β 2 + γ 2 ) ˜c 1 ˜d1 {2(|γ| 2 + |δ| 2 )(α ∗ β + αβ ∗ ) + 2(|β| 2 + |δ| 2 )(α ∗ γ + αγ ∗ )− } 2(|α| 2 + |γ| 2 )(β ∗ δ + βδ ∗ ) − 2(|α| 2 + |β| 2 )(γ ∗ δ + γδ ∗ ) . (5.95) Dieser Ausdruck läßt sich unter der Annahme reeller Parameter auf folgende Form bringen: [ ] Cov(x,y) = 2(αδ − βγ) −(α − δ) 2 + (β + γ 2 ) + 2(α − δ)(β + γ) . (5.96) Der erste Faktor entspricht genau der Darstellung der Concurrence, vgl. (2.11). Eine von Null verschiedene Concurrence ist also eine notwendige Bedingung für eine endliche Kovarianz, also einer Korrelation der x- und y-Richtung. Der Korrelationskoeffizient (3.73), welcher einer normierten Kovarianz mit den jeweiligen Standardabweichungen entspricht, wird hier nicht weiter untersucht. Eine mögliche Parameterabhängigkeit würde bei der Normierung durch die Parameterabhängigkeit der Mittelwerte verfälscht. Stattdessen wird nachstehend die Kovarianz untersucht, die mit Potenzen von ˜c 1 auf die nötige Größe umsakliert wird. 5.2.4 Betrachtung eines Beispielzustandes Die abgeleiteten Mittelwerte bzw. Verschränkungsrelationen sollen nun anhand eines 2- Qubit Beispielzustandes diskutiert werden. Wie im einleitenden Kapitel über Verschränkungsmaße bereits erörtert, existiert nur eine Verschränkungsart für 2-Qubit Zustände. Der Prototyp dieser Verschränkungsklasse ist der EPR-Zustand. Die Verschränkung der 2-Qubit Zustände kann mit der Concurrence berechnet werden. Der hier diskutierte Zustand ist eine parameterabhängige Verallgemeinerung des EPR- Zustandes: |φ 0 〉 = γ|00〉 + e iϕ√ 1 − γ 2 |11〉, (5.97) mit γ ∈ [0,1] und einer allgemeinen Phase ϕ ∈ [0,2π]. Die Concurrence für diesen Zustand berechnet sich nach Gleichung (2.11) zu: C(|Φ 0 〉) = 2γ √ 1 − γ 2 , (5.98) unabhängig vom Phasenwinkel ϕ. Die I-Concurrences IC 1−2 bzw. IC 2−1 sind im 2-Qubit Fall gleich und entsprechen der Concurrence. Die eindimensionalen Erwartungswerte ergeben sich mit den allgemeinen Beziehungen (5.57) bzw. (5.60) zu: 〈x〉 = 〈y〉 = ˜c 1 (2γ 2 − 1). (5.99)
5.2 Zweidimensionaler QW 71 30 20 10 〈x〉, 〈y〉 0 -10 -20 -30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ Abbildung 5.3: Mittelwerte 〈x〉, 〈y〉 des Beispielzustandes (5.97) als Funktion von γ. Die numerischen Punkte sind mit der analytischen Lösung A 0 (2γ 2 − 1) gefittet, mit dem Ergebnis A 0 = 28.9756. Die Simulation des QW erfolgte auf einem Gitter mit der Größe g = 220 pro Richtung, der Walker war t = 100 Zeitschritte unterwegs. 2000 1500 ϕ=0 ϕ=π/4 ϕ=π/3 ϕ=π/2 ϕ=2π/3 ϕ=3π/4 ϕ=π 〈xy〉 1000 500 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ Abbildung 5.4: Mittelwert 〈xy〉 für den Beispielzustand (5.97) als Funktion von γ für verschiedene ϕ. Die jeweiligen numerischen Punkte sind mit der passenden analytischen Lösung A 0 + A 1 2γ √ 1 − γ 2 cosϕ angepaßt. Mit dem Ergebnis A 0 = 839.583 und A 1 = 878.688. Numerische Simulation des QW mit g = 220 pro Richtung und t = 100.
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Verschränkungsstrukturen in multid
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung &
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Kapitel 1 Einführung & Motivation
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3 vergleichbar. Algorithmen aus der
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Kapitel 2 Verschränkungsmessung un
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2.2 Charakterisierung reiner 2- und
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Seite 21 und 22:
2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
Seite 25 und 26: 2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
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Seite 123 und 124: LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
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Seite 129:
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