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90 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle Die Auswertung liefert: { 2 〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 |α 1 | 2 + |α 2 | 2 + |α 3 | 2 + |α 4 | 2 − |α 5 | 2 − |α 6 | 2 − |α 7 | 2 − |α 8 | 2 − |α 9 | 2 + |α 10 | 2 + |α 11 | 2 + |α 12 | 2 + |α 13 | 2 + |α 14 | 2 + |α 15 | 2 + |α 16 | 2} + ˜d 2 { } 1 α 1 α ∗ 13 + α 2 α ∗ 14 + α 3 α ∗ 15 + α 4 α ∗ 16 + α 5 α ∗ 9 + α 6 α ∗ 10 + α 7 α ∗ 11 + α 8 α ∗ 12 + c.c. + ˜c 1 ˜d1 {α 1 α ∗ 5 + α 1α ∗ 9 + α 2α ∗ 6 + α 2α ∗ 10 + α 3α ∗ 7 + α 3α ∗ 11 + α 4α ∗ 8 + α 4α ∗ 12 − α 5 α ∗ 13 − α 6α ∗ 14 − α 7α ∗ 15 − α 8α ∗ 16 − α 9α ∗ 13 − α 10α ∗ 14 − α 11α ∗ 15 − α 12α ∗ 16 + c.c. } (5.211) Verwendet man wieder die Schreibweise R (12) ij := (ρ 12 ) ij für die Komponenten der reduzierten Dichtematrix, so erhält man die gleiche Form wie im dreidimensionalen Fall, vgl (5.121): { } 2 〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 R (12) 11 − R (12) 22 − R (12) 33 + R (12) 44 + ˜d 2 { } 1 R (12) 14 + R (12) 41 + R (12) 23 + R (12) 32 + { } ˜c 1 ˜d1 R (12) 12 + R (12) 21 + R (12) 13 + R (12) 31 − R (12) 24 − R (12) 42 − R (12) 34 − R (12) 43 (5.212) In Anhang B befindet sich die exakte Darstellung der Mittelwerte 〈x 1 x 3 〉, 〈x 1 x 4 〉, 〈x 2 x 3 〉, 〈x 2 x 4 〉 und 〈x 3 x 4 〉. Die Berechnung der drei- und vierdimensionalen Erwartungswerte erfolgt über: und 〈x 1 x 2 x 3 〉 = i3 (2π) 4 〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = i4 (2π) 4 ∫π k x1 ,k x2 ,k x3 ,k x4 =−π ∫π k x1 ,k x2 ,k x3 ,k x4 =−π dk x1 dk x2 dk x3 dk x4 〈φ 0 | ˜H (1) k x1 ⊗ ˜H (1) k x2 ⊗ ˜H (1) k x3 ⊗ 11|φ 0 〉 (5.213) (1) (1) (1) (1) dk x1 dk x2 dk x3 dk x4 〈φ 0 | ˜H k x1 ⊗ ˜H k x2 ⊗ ˜H k x3 ⊗ ˜H k x3 |φ 0 〉. (5.214) Zur vollständigen Darstellung als Funktion der α i vgl. Anhang B. Diese Mittelwerte lassen sich wieder in allgemeiner Darstellung in den Elementen der (reduzierten) Dichtematrizen schreiben, was hier nicht explizit ausgefürt wird. Zusammengefaßt können die Mittelwerte, unabhängig von der Anzahl der Raumdimensionen, also folgendermaßen geschrieben werden: 〈x i 〉 = f 1 (R (i) mn) (5.215) 〈x i x j 〉 = f 2 (R (ij) mn ) (5.216) 〈x i x j x k 〉 = f 3 (R (ijk) mn ) (5.217) wobei die R mn, (x) die Elemente der auf das x−te Qubit bzw. Qubitgruppe reduzierten Dichtematrix sind, also R mn (x) := (ρ x ) mn . 5.4.2 Betrachtung der Beispielzustände Die im folgenden betrachteten Beispielzustände sind wie im 3-Qubit Fall aus verschiedenen Verschränkungsklassen gewählt und haben somit allgemeinen Charakter. Wie in
5.4 Vierdimensionaler QW 91 Kapitel 2 wird zuerst der parameterabhängige 4-Qubit GHZ-Zustand untersucht. Es folgen der Miyake Zustand, und die beiden Eigenzustände einer Heiseberg Spinkette, die eine komplizierte Parameterstruktur aufweisen. 5.4.2.1 Parameterabhängige GHZ Zustände 2-Qubit Verschränkung: Um die Diskussion mit einem Einfachstbeispiel zu beginnen, kann man folgenden Zustand untersuchen: γ|0000〉 + e iϕ√ ( 1 − γ 2 |1100〉 = γ|00〉 + e iϕ√ ) 1 − γ 2 |11〉 ⊗ |00〉 (5.218) Nur die Qubits 1 und 2 sind verschränkt, die Qubits 3 und 4 können als Produkt angehängt werden. Um die Verschränkungsstruktur abzubilden, genügt eigentlich die Betrachtung der eindimensionalen Erwartungswerte 〈x i 〉. Die Berechnung dieser ergibt: 〈x 1 〉 = 〈x 2 〉 = ˜c 1 (2γ 2 − 1) (5.219) 〈x 3 〉 = 〈x 4 〉 = ˜c 1 (5.220) Diese können in der Form (5.209), mit verschwindendem Restterm Rest xi werden, da die I-Concurrences folgende bekannte Form haben: geschrieben IC 1 = IC 2 = 2γ √ 1 − γ 2 IC 3 = IC 4 = 0 (5.221) Allein die Concurrence C 12 = 2γ √ 1 − γ 2 hat einen endlichen Wert, alle anderen Concurrences sind gleich 0. Die Auswertung der zweidimensionalen Mittelwerte ergibt: 〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 2 + ˜d 1 2 2γ √ 1 − γ 2 cos ϕ (5.222) 〈x 1 x 3 〉 = 〈x 1 x 4 〉 = 〈x 2 x 3 〉 = 〈x 2 x 4 〉 = ˜c 1 2 (2γ 2 − 1) (5.223) 〈x 3 x 4 〉 = ˜c 1 2 Nur die Kovarianz Cov(x 1 ,x 2 ) ist ungleich Null: (5.224) Cov(x 1 ,x 2 ) = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) + ˜d 1 2 2γ √ 1 − γ 2 cos ϕ (5.225) alle anderen Kovarianzen Cov(x i ,x j ) sind gleich Null, die zugehörigen zweidimensionalen Erwartungswerte können somit aus Produkten der eindimensionalen Erwartungswerte zusammengesetzt werden. Die drei- und vierdimensionalen Erwartungswerte: 〈x 1 x 2 x 3 〉 = 〈x 1 x 2 x 4 〉 = ˜c 1 3 + ˜c 1 ˜d1 2 2γ √ 1 − γ 2 cos ϕ (5.226) 〈x 1 x 3 x 4 〉 = 〈x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1 3 (2γ 2 − 1) (5.227) 〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1 4 + ˜c 1 2 ˜d1 2 2γ √ 1 − γ 2 cos ϕ, (5.228) können ebenfalls als Produkt niederdimensionaler Erwartungswerte geschrieben werden, wie z.B.: 〈x 1 x 2 x 3 〉 = 〈x 1 x 2 〉〈x 3 〉 (5.229) 〈x 1 x 3 x 4 〉 = 〈x 1 x 3 〉〈x 4 〉 (5.230) 〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = 〈x 1 x 2 〉〈x 3 〉〈x 4 〉 (5.231) Die Verschränkungsstruktur des Zustandes ist also an der Produktform der Ortserwartungswerte erkennbar. Die Verschränkung läßt sich sowohl mit den Mittelwerten 〈x 1 〉, 〈x 2 〉 also auch mit der phasengemittelten Kovarianz Cov(x 1 ,x 2 ) bestimmen.
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Verschränkungsstrukturen in multid
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung &
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Kapitel 1 Einführung & Motivation
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3 vergleichbar. Algorithmen aus der
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Kapitel 2 Verschränkungsmessung un
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2.2 Charakterisierung reiner 2- und
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Seite 17 und 18:
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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
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Seite 29 und 30:
Seite 31 und 32:
Kapitel 3 Diskrete Quantum Walk Mod
Seite 33 und 34:
3.1 Eindimensionale QW Modelle 27 0
Seite 35 und 36:
3.1 Eindimensionale QW Modelle 29 i
Seite 37 und 38:
3.2 Erweiterung des Coinraumes 31 z
Seite 39 und 40:
3.2 Erweiterung des Coinraumes 33 0
Seite 41 und 42:
3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 35
Seite 43 und 44:
3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 37
Seite 45 und 46: 3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 39
Seite 47 und 48: 3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 41
Seite 49 und 50: 3.4 Nichtlineare 1D Modelle 43 menh
Seite 51 und 52: 3.4 Nichtlineare 1D Modelle 45 300
Seite 53 und 54: 3.4 Nichtlineare 1D Modelle 47 Die
Seite 55: 3.5 Diskussion 49 den Einfluß von
Seite 58 und 59: 52 Kapitel 4 ⊗ Verschränkung in
Seite 66 und 67: 60 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und
Seite 106 und 107: 100 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung un
Seite 108 und 109: 102 Kapitel 6 ⊗ Zusammenfassung a
Seite 111 und 112: Anhang A Charakterisierung der 3- u
Seite 113 und 114: 107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
Seite 115 und 116: Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118: 111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120: 113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122: Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124: LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126: LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128: LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129: Danksagung Zum Schluß der Dank den
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