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5.3 Dreidimensionaler QW 79
4000
2000
〈x1x2x3〉
0
-2000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
γ
Abbildung 5.7: Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 〉 als Funktion von γ für zwei verschiedene Phasenwinkel
ϕ, ϕ = 0 (Kreise) und ϕ = π/2 (Quadrate) für den parameterabhängigen GHZ-
Zustand (5.137). Die durchgezogenen Linien sind Anpassungen der numerischen
Punkte mit der analytischen Gleichung (5.140). A 0 (2γ 2 −1)+A 1 2γ √ 1 − γ 2 cosϕ
und den Ergebnissen A 0 = 2884.5 und A 1 = 3374.18. Die Werte des QW sind
g = 110 und t = 55.
ist folglich nicht gegeben. Die 3-Qubit Verschränkung bewirkt also auch eine Zweier Korrelation
der Raumrichtungen.
Im Gegensatz zum vorher betrachteten 2-Qubit verschränkten Zustand, kann der dreidimensionale
Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 〉 nicht als Produkt niederdimensionaler Erwartungswerte
geschrieben werden:
〈x 1 x 2 x 3 〉 ≠ 〈x i x j 〉〈x k 〉 (5.142)
〈x 1 x 2 x 3 〉 ≠ 〈x 1 〉〈x 2 〉〈x 3 〉. (5.143)
Der Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 〉 besteht aus zwei Teilen. Sowohl der ˜c 1 , als auch der ˜d 1 Anteil
geben Hinweise auf einen möglichen Zusammenhang mit Verschränkungsmaßen. Der
˜d 1 Anteil kann aber bei einer Mittelung über die Phasenwinkel vernachlässigt werden. In
Abb. 5.7 ist 〈x 1 x 2 x 3 〉 als Funktion von γ für zwei verschiedene Winkel ϕ dargestellt. Die numerischen
Punkte sind mit der analytischen Lösung angepaßt. Eine Korrelation zwischen
drei klassischen Zufallsvariablen wird in der gängigen Literatur nicht diskutiert. Deswegen
wird ähnlich zum Quantenfall versucht eine Art Dreier Korrelation / Kovarianz abzuleiten.
Die Gesamtverschränkung eines 3-Qubit Zustandes kann als Summe der 2-Qubit
Verschränkungen und der 3-Qubit Verschränkung geschrieben werden, vgl. (2.16). Ein
ähnlicher Gedanke steckt hinter der folgenden Berechnung. Die Kovarianz ist ursprünglich
definiert als:
Cov(x i ,x j ) = 〈(x i − 〈x i 〉)(x j − 〈x j 〉)〉. (5.144)
Untersucht man nun eine Größe ähnlich zur Kovarianz, so erhält man:
〈(x 1 − 〈x 1 〉)(x 2 − 〈x 2 〉)(x 2 − 〈x 2 〉〉 =
〈x 1 x 2 x 3 〉 − 〈x 1 〉〈x 2 〉〈x 3 〉 − 〈x 1 〉Cov(x 2 ,x 3 ) − 〈x 2 〉Cov(x 1 ,x 3 ) − 〈x 3 〉Cov(x 1 ,x 2 )
= ˜c 1 3 2(2γ 2 − 1)4γ 2 (1 − γ 2 ) + ˜d 1
3
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ. (5.145)