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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Qubit Verschränkung 17
geschrieben. Luque und Thibon untersuchten nun die, unter der SLOCC Gruppe SL(2, C) 4 ,
invarianten Funktionen f(a ijkl ). Diese a ijkl lassen sich als Koeffizienten einer quadrilinearen
Form:
1∑
A(x,y,z,t) = a ijkl x i y j z k t l (2.64)
i,j,k,l=0
auffassen. Die a ijkl kann man binär kodieren, d.h. mit α i ,i ∈ [1,16] um die Schreibweise
abzukürzen.
Obige quadrilineare Form A hat eine Invariante H vom Grad 2:
H = α 1 α 16 − α 2 α 15 − α 3 α 14 + α 4 α 13 − α 5 α 12 + α 6 α 11 + α 7 α 10 − α 8 α 9 (2.65)
Die zwei Invarianten mit Grad 4 sind zwei, folgender drei Determinanten:
∣ ∣ ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ α 1 α 5 α 9 α 13
α 1 α 9 α 3 α 11
α 1 α 2 α 9 α 10
L =
α 2 α 6 α 10 α 14
M =
α 2 α 10 α 4 α 12
N =
α 3 α 4 α 11 α 12
(2.66)
α 3 α 7 α 11 α 15
α 5 α 13 α 7 α 15
α 5 α 6 α 13 α 14
∣α 4 α 8 α 12 α 16
∣α 6 α 14 α 8 α 16
∣α 7 α 8 α 15 α 16
mit L + M + N = 0. Um eine Invariante mit Grad 6 zu konstruieren verwendeten Luque
und Thibon Methoden der klassischen Invariantentheorie [93]. Der genaue Weg ist in [79]
beschrieben. Diese Invariante kann in den α i dargestellt werden als:
)(
D xt =
(−α 12 α 14 +α 16 α 10 −(α 4 α 5 +α 3 α 6 −α 2 α 7 −α 1 α 8 )(−α 1 α 15 +α 13 α 3 +α 11 α 5 −α 7 α 9 )+
)
(α 3 α 5 − α 1 α 7 )(−α 2 α 15 − α 1 α 16 + α 14 α 3 + α 13 α 4 + α 12 α 5 + α 11 α 6 − α 8 α 9 − α 7 α 10 ) +
)
(−α 11 α 13 + α 15 α 9
(
−(α 4 α 6 − α 2 α 8 )(−α 2 α 15 − α 1 α 16 + α 14 α 3 + α 13 α 4 + α 12 α 5 + α 11 α 6 − α 8 α 9 − α 7 α 10 )+
)
(α 4 α 5 + α 3 α 6 − α 2 α 7 − α 1 α 8 )(−α 2 α 16 + α 14 α 4 + α 12 α 6 − α 8 α 10 ) −
)
(−α 12 α 13 − α 11 α 14 + α 16 α 9 + α 15 α 10
(
(α 4 α 6 − α 2 α 8 )(α 1 α 15 − α 13 α 3 − α 11 α 5 + α 7 α 9 )+
)
(−α 3 α 5 + α 1 α 7 )(α 2 α 16 − α 14 α 4 − α 12 α 6 + α 8 α 10 ) . (2.67)
Die Folge [H,L,M,D xt ] der Generatoren der Algebra Polynomialer Invarianten ist vollständig.
Nun kann man die Hyperdeterminante DetA 4 als Funktion der Invarianten darstellen.
Luque und Thibon identifizierten dazu die Diskriminante ∆ einer binären quartischen
Form. Diese hat zwei Invarianten S und T, die mit der Diskriminanten über:
∆ = S 3 − 27T 2 (2.68)
zusammenhängen. Dieses ∆ ist äquivalent zur Hyperdeterminante DetA 4 . Luque und Thibon
gaben weiterhin S und T als Funktion obiger H,L,M und D xt an:
S = 1
12 H4 − 2 3 H2 L + 2 3 H2 M − 2HD xt + 4 3 (L2 + LM + M 2 ) (2.69)