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4.2 Analytische Vereinfachung 53
Zur Berechnung des Mittelwertes (m = 1) fängt man mit der Vereinfachung des Integranden
an:
(
) ( )
(U † d
k )t dk Ut k = a ′ a ∗ + b(b ∗ ) ′ a ∗ b ′ − (a ∗ ) ′ b c
:= 1 d 1
(4.12)
a ′ b ∗ − a(b ∗ ) ′ a(a ∗ ) ′ + b ′ b ∗ −d ∗ 1 c ∗ 1
Durch eine einfache Rechnung kann gezeigt werden, daß die Summe aus c 1 und c ∗ 1 gleich
Null ist:
c 1 + c ∗ 1 = a ∗ a ′ + bb ′∗ + a ′∗ a + b ′ b ∗ = (aa ∗ ) ′ + (bb ∗ ) ′ = (|a| 2 + |b| 2 ) ′ = 0. (4.13)
Daraus folgt ebenfalls, daß das Integral über die Summe verschwindet:
i
2π
Im folgenden wird die Abkürzung:
∫ π
−π
dk (c 1 + c ∗ 1 ) = 0. (4.14)
˜c 1 := i ∫ π
dk c 1 (4.15)
2π −π
verwendet. In Abb. 4.1a ist die numerische Auswertung von ˜c 1 als Funktion der Zeit
dargestellt. Die Punkte sind linear angepaßt, mit dem Ergebnis:
˜c 1 (t) = 0.5116 − 0.2932 t. (4.16)
Man kann mit Symmetrieüberlegungen ebenso zeigen, daß das Integral über die Differenz
der Nebendiagonalelemente verschwindet, also i ∫ π
2π −π dk ( d 1 − d ∗ )
1 = 0 ist.
Für die Berechnung der Varianz und der Standardabweichung benötigt man das zweite
Moment. Dafür wird der Integrand aus (3.27) für m = 2 vereinfacht:
(U † k )t d 2
dk 2 Ut k = (
a ∗
b ∗
) ( )
−b a ′′ b ′′
=
a (−b ∗ ) ′′ (a ∗ ) ′′
(
) ( )
a ′′ a ∗ + b(b ∗ ) ′′ a ∗ b ′′ − (a ∗ ) ′′ b c
:= 2 d 2
. (4.17)
a ′′ b ∗ − a(b ∗ ) ′′ a(a ∗ ) ′′ + b ′′ b ∗ −d ∗ 2 c ∗ 2
Durch numerische Auswertung kann man zeigen, daß die obige Matrix nach ausführen der
Integration diagonal ist und die Diagonalelemente gleich sind, also − 1 ∫ π
2π −π dk (c 2−c ∗ 2 ) = 0
und
− 1 ∫ π
dk d 2 = − 1 ∫ π
dk ( −d ∗
2π −π 2π
2)
= 0. (4.18)
−π
Mit diesen beiden Informationen folgt, daß das zweite Moment unabhängig vom Anfangszustand
ist, also nur vom Integral:
˜c 2 := − 1 ∫ π
dk c 2 . (4.19)
2π −π
abhängt. Das ist in Übereinstimmung mit den Ergebnissen von Konno [70, 71]. In Abb.
4.1b ist das Integral ˜c 2 numerisch ausgewertet und mit einer quadratischen Abhängigkeit
gefittet, mit dem Ergebnis:
˜c 2 (t) = 0.351249 t 2 . (4.20)