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Kapitel 2
Verschränkungsmessung und
Polynomiale Invarianten
In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Verschränkungstheorie erläutert, die im
weiteren Verlauf der Arbeit gebraucht werden. Die Frage nach einer Quantifizierung der
Verschränkung ist zweigeteilt. Was wird gemessen und wie wird gemessen? Vor der eigentlichen
Messung kommt zuerst die Charakterisierung des verschränkten Zustandes. Welchen
Arten von Verschränkung gibt es? Erst nach einer Untersuchung der Verschränkungsstruktur
kommt die Entwicklung entprechender Verschränkungsmaße.
Der erste Abschnitt gibt eine kurze Übersicht der Ergebnisse auf dem Gebiet der Verschränkungstheorie.
Danach folgt die beispielhafte Anwendung der Maße auf reine 3-Qubit
Zustände, da obige Fragen für diese Art bereits geklärt sind. Die Quantifizierung von
Zuständen mit vier Qubits ist diffiziler. Da diese Zustände noch Gegenstand aktueller
Diskussion sind, werden im letzten Abschnitt polynomiale Invarianten zur Messung einer
echten 4-Qubit Verschränkung betrachtet und mit vorhandenen Methoden verglichen.
2.1 Grundlagen
In diesem Abschnitt werden grundlegende Aussagen über Verschränkungsmessung und
Verschränkungscharakterisierung vorgestellt. Verschränkte Zustände wurden schon bei
Einführung der Quantenmechanik diskutiert, stoßen sie doch an die Grenzen des klassischen
Verständnisses. Die Diskussion um das EPR-Paradoxon zwischen Einstein, Podolsky
und Rosen [40] auf der einen, und Bohr [20] auf der anderen Seite ging in die
Wissenschaftsgeschichte ein. Der Begriff der Verschränkung geht zurück auf eine Arbeit
von Schrödinger [102]. Einführende Übersichtsartikel verfaßten Horodecki [60], Bruß [26],
Terhal [108] und Plenio [96].
Verschränkung hat nur im Kontext von mehreren Quantenteilchen eine Bedeutung. Der zugehörige
Hilbertraum wird als Produktraum der Subsysteme geschrieben. Um verschränkte
Zustände zu quantifizieren gibt es zwei Ansätze [16] und zwei Regime, die es zu unterscheiden
gilt: die formale mathematische Definition und den operationellen Ansatz, das
endliche und das asymptotische Regime. Im endlichen Regime behandelt man einzelne
Zustände, im asymptotischen Bereich, Sequenzen von Zuständen.
Die formale Definition ist einfach. Reine Zustände heißen verschränkt, falls sie nicht als
Produktzustände geschrieben werden können:
|ψ 12...N 〉 ≠ |ψ 1 〉 ⊗ |ψ 2 〉 ⊗ ... ⊗ |ψ N 〉, (2.1)
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