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Kapitel 3
Diskrete Quantum Walk Modelle
Der klassische Random Walk wird meist mit der Bewegung eines Betrunkenen verglichen.
Dieser macht mit einer Wahrscheinlichkeit p einen Schritt nach links, und mit einer Wahrscheinlichkeit
(1 − p) einen Schritt nach rechts. Nun ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei
t−maliger Wiederholung dieser Bewegung das Ereignis Schritt nach links genau k−mal
eintritt durch:
( t
P t (k) = p
k)
k (1 − p) t−k (3.1)
gegeben. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, den Betrunkenen zum Zeitpunkt t an einem bestimmten
Ort x zu finden. Man erhält eine Binomialverteilung, der Mittelwert bei einer
ungerichteten Bewegung (p = 1/2) ist 〈x〉 = 0, mit dem Ursprung als Startpunkt. Die
Varianz ist proportional zu t, σ 2 (x) = t.
Der diskrete Quantum Walk ist identisch aufgebaut. Man betrachtet die Dynamik eines
Quantensystems auf einem diskreten Gitter, erhält aber ein komplett anderes Verhalten
als im klassischen Fall. In diesem Kapitel werden nun einfache Modelle des diskreten QW
behandelt. Einerseits zum Überblick über vorhandene Literatur, andererseits zur Vorbereitung
auf die folgenden Kapitel. Beginnend mit dem einfachsten Modell: ein unendliches
eindimensionales Gitter mit einer Münze (engl. Coin). Das Modell wird ausführlich behandelt,
analytische Lösungsmöglichkeiten auf der einen Seite und Vereinfachungen zur
numerischen Simulation auf der anderen Seite, werden aufgezeigt. Das Modell ist in mehrere
Richtungen erweiterbar. Zum einen durch die Anzahl der verwendeten Coins, zum
anderen durch eine Erhöhung der Dimensionalität des Ortsraumes. Diese Zusätze machen
es in späteren Kapiteln möglich, den Einfluß von Multiqubit Zuständen auf die Verteilungen
der QW Modelle zu studieren und so Zusammenhänge zwischen Verschränkungsmaßen
und Ortskorrelationen herzustellen. Ein weiterer Ansatz betrachtet das Hinzufügen von
Nichtlinearitäten, meist ortsabhängigen Phasen, wodurch die Beziehung zu Quantenchaos-
Modellen hergestellt wird. Innerhalb eines solchen Modells wird die Verbindung zwischen
Verschränkung und Ortsverteilung bereits sichtbar.
3.1 Eindimensionale QW Modelle
Das einfachste Modell eines diskreten QW beschreibt die Bewegung eines 2-Level Quantensystems
(Qubit) auf einem eindimensionalen Gitter mit g Gitterpunkten. Der Hilbertraum
H des Gesamtsystems wird durch einen g-dimensionalen Ortsraum H P (Positionspace)
und einen 2-dimensionalen Münzraum (Coinraum, Coinspace) H C beschrieben,
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